Chiarimento passaggi di una disequazione

[Freiheit16]

|(-1)^(n) * (n+1)/n^2 - 0| < ε
|(-1)^(n) * (n+1)/n^2| < ε

Poi, dopo aver tolto il valore assoluto non saprei come procedere
per ricavare n... Potreste mostrarmi i passaggi? Grazie

TITOLO NON REGOLAMENTARE- modificato da moderatore.

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Per contestualizzare un po', credo tu voglia verificare che

[math]\lim_{n\to +\infty}(-1)^n \frac{n+1}{n^2}=0\,.\\[/math]

In tal caso, allora:

[math]\forall \, U_0[/math]

fissato

[math]\epsilon > 0[/math]

arbitrariamente piccolo

[math]\exists \, I_{+\infty}[/math]

tale che

[math]\forall \, n \in I_{+\infty}\; \Rightarrow\\[/math]

[math]\left|(-1)^n \frac{n+1}{n^2}-0\right| < \epsilon\\[/math]

[math]\left|(-1)^n\right| \frac{\left|n+1\right|}{n^2} < \epsilon\\[/math]

considerando il fatto che stiamo studiando l'intorno di

[math]+\infty[/math]

:

[math]n+1 < \epsilon\,n^2\\[/math]

[math]\epsilon\,n^2 - n - 1 > 0\\[/math]

[math]n < \frac{1-\sqrt{1+4\epsilon}}{2\epsilon} \; \vee \; n > \frac{1+\sqrt{1+4\epsilon}}{2\epsilon}\,;\\[/math]

si trova così un intorno di

[math]+\infty[/math]

:

[math]n > \frac{1+\sqrt{1+4\epsilon}}{2\epsilon}\,.\\[/math]

Spero possa tornarti utile per la risoluzione degli altri esercizi ;)

[Freiheit16]

Grazie mille