Chiarimento esercizio su parabola
Ciao ragazzi. Ho di nuovo questo esercizio:
Determina la parabola di vertice V(-9;2) che divide l'asse y in un segmento lungo 6. Studia il numero di intersezioni tra la parabola e le rette y=mx+9m al variare di m in R.
Vi chiedo un chiarimento in merito alla risposta del buon @melia che mi ha dato la scorsa volta, ovvero:
"Sai che la retta y=2 è asse di simmetria per la parabola, quindi le due intersezioni con l'asse delle ordinate devono essere simmetriche al punto (0,2), saranno (0,−1) e (0,5), la parabola passante per i tre punti è x=y2−4y−5. Adesso devi disegnare il fascio di rette, che ha centro in (−9,0), puoi osservare subito che una delle rette del fascio tangenti alla parabola è la retta x=−9, mentre per trovare l'altra devi mettere a sistema il fascio con l'equazione della parabola, scrivi l'equazione di secondo grado risolvente il sistema e imponi Δ≥0 ottenendo una disequazione nel parametro m che ti permette di rispondere all'ultima domanda."
Non ho capito questo: ma il fascio di rette passa per quali punti?
Ti prego @melia, aiutami!!!
Determina la parabola di vertice V(-9;2) che divide l'asse y in un segmento lungo 6. Studia il numero di intersezioni tra la parabola e le rette y=mx+9m al variare di m in R.
Vi chiedo un chiarimento in merito alla risposta del buon @melia che mi ha dato la scorsa volta, ovvero:
"Sai che la retta y=2 è asse di simmetria per la parabola, quindi le due intersezioni con l'asse delle ordinate devono essere simmetriche al punto (0,2), saranno (0,−1) e (0,5), la parabola passante per i tre punti è x=y2−4y−5. Adesso devi disegnare il fascio di rette, che ha centro in (−9,0), puoi osservare subito che una delle rette del fascio tangenti alla parabola è la retta x=−9, mentre per trovare l'altra devi mettere a sistema il fascio con l'equazione della parabola, scrivi l'equazione di secondo grado risolvente il sistema e imponi Δ≥0 ottenendo una disequazione nel parametro m che ti permette di rispondere all'ultima domanda."
Non ho capito questo: ma il fascio di rette passa per quali punti?
Ti prego @melia, aiutami!!!
Risposte
"Ele123":
Non ho capito questo: ma il fascio di rette passa per quali punti?
Ciao,
è un fascio proprio, quindi è formato da tutte le rette che passano per $(-9,0)$ ed aventi qualunque pendenza.
Se hai la parabola $$x=y^2-4y-5$$ e il fascio $$y=mx+9m$$ puoi subito mettere a sistema e studiare il $\Delta$.
In particolare ottieni $$x = m^2x^2+81m^2+18m^2x-4mx-36m-5$$ $$m^2x^2+\left(18m^2-4m-1\right)x+81m^2-36m-5=0$$ Dopo qualche calcolo ottieni $$\Delta = 8m+1$$ e ora puoi fare le tue considerazioni.
Ti ringrazio moltissimo! Quindi poi basta porre $ 8m+1>=0 $ per concludere l'esercizio?
Più o meno... Possiamo dire questo:
* se $\Delta<0$ non ci sono intersezioni, quindi la retta è esterna alla parabola
* se $\Delta=0$ le intersezioni sono due e coincidono, quindi la retta è tangente (l'altra tangente te l'aveva indicata @melia)
* se $\Delta > 0$ le intersezioni sono due e distinte, quindi la retta è secante.
* se $\Delta<0$ non ci sono intersezioni, quindi la retta è esterna alla parabola
* se $\Delta=0$ le intersezioni sono due e coincidono, quindi la retta è tangente (l'altra tangente te l'aveva indicata @melia)
* se $\Delta > 0$ le intersezioni sono due e distinte, quindi la retta è secante.
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