Chiarimenti sul principio di induzione
Salve a tutti.
Premetto di studiare la matematica solo sporadicamente, vogliate quindi perdonare l'eventuale ingenuità delle mie domande; vorrei solo capire meglio ciò che studio.
Per il principio di induzione, se un asserto $A$ è verificato per $n=1 e n=k+1$ (supponendo che $n=k$ sia vera), allora tale asserto è valido e costituisce un teorema.
La mia domanda è: che senso ha questo principio? Se verifico un'asserzione solo per $n=1$ e $n=k+1$ (senza contare che starei supponendo, senza poterlo dimostrare, che $n=k$ sia vera) le dimostrazioni sarebbero troppo poche per poter inferire che tale asserzione è vera. è vero che ovviamente non si può dimostrare all'infinito, però che senso ha formalizzare qualcosa per il semplice fatto di aver compiuto due dimostrazioni? Non si potrebbe, a questo punto, evitare di usare siffatto principio e dire: "l'asserzione A è vera perché l'esperienza lo ha sempre dimostrato "?
Premetto di studiare la matematica solo sporadicamente, vogliate quindi perdonare l'eventuale ingenuità delle mie domande; vorrei solo capire meglio ciò che studio.
Per il principio di induzione, se un asserto $A$ è verificato per $n=1 e n=k+1$ (supponendo che $n=k$ sia vera), allora tale asserto è valido e costituisce un teorema.
La mia domanda è: che senso ha questo principio? Se verifico un'asserzione solo per $n=1$ e $n=k+1$ (senza contare che starei supponendo, senza poterlo dimostrare, che $n=k$ sia vera) le dimostrazioni sarebbero troppo poche per poter inferire che tale asserzione è vera. è vero che ovviamente non si può dimostrare all'infinito, però che senso ha formalizzare qualcosa per il semplice fatto di aver compiuto due dimostrazioni? Non si potrebbe, a questo punto, evitare di usare siffatto principio e dire: "l'asserzione A è vera perché l'esperienza lo ha sempre dimostrato "?
Risposte
Devi, prima di tutto, tenere conto che stai lavorando su $NN$, dove esiste il concetto di successivo. Se sai che una cosa è vera per un certo numero naturale e poi sai che è vera per il suo successivo, allora è vera per ogni $n in NN$ perché ogni termine è dotato di successivo.
Non è esattamente come dici ...
Provo a spiegarmi in modo molto informale ... per usare il principio di induzione devi avere una "lista" degli "eventi" che vuoi dimostrare veri; questa lista deve essere ordinata e deve avere un evento che sia "il primo della lista", inoltre ogni evento della lista deve "dipendere" da quello (o da quelli) precedente.
Se hai questi elementi puoi utilizzare il principio di induzione per provare la tua tesi, usando i due passi: quello base e quello induttivo.
Il passo base consiste nel verificare se la tua tesi vale per "il primo della lista".
Il passo induttivo consiste nel prendere un generico (indeterminato) elemento della lista, supporre che la tua tesi sia valida per questo elemento e dimostrare, utilizzando solo questa informazione, che la tesi è valida anche per il successivo di tale elemento.
Se riesci a fare ciò, hai dimostrato valida la tua tesi per tutti gli infiniti elementi della lista. Perché?
Con il passo base hai dimostrato che la tua tesi è valido per "il primo della lista", con il passo induttivo se hai un elemento che è vero allora lo sarà anche il suo successivo, perciò "il primo della lista" è buono (passo base) ma se è buono il primo la sarà pure il secondo (passo induttivo), ma se è buono il secondo lo sarà pure il terzo (passo induttivo), ma se è buono il terzo lo sarà pure il quarto (passo induttivo), ma ... ad libitum ...
Cordialmente, Alex
Provo a spiegarmi in modo molto informale ... per usare il principio di induzione devi avere una "lista" degli "eventi" che vuoi dimostrare veri; questa lista deve essere ordinata e deve avere un evento che sia "il primo della lista", inoltre ogni evento della lista deve "dipendere" da quello (o da quelli) precedente.
Se hai questi elementi puoi utilizzare il principio di induzione per provare la tua tesi, usando i due passi: quello base e quello induttivo.
Il passo base consiste nel verificare se la tua tesi vale per "il primo della lista".
Il passo induttivo consiste nel prendere un generico (indeterminato) elemento della lista, supporre che la tua tesi sia valida per questo elemento e dimostrare, utilizzando solo questa informazione, che la tesi è valida anche per il successivo di tale elemento.
Se riesci a fare ciò, hai dimostrato valida la tua tesi per tutti gli infiniti elementi della lista. Perché?
Con il passo base hai dimostrato che la tua tesi è valido per "il primo della lista", con il passo induttivo se hai un elemento che è vero allora lo sarà anche il suo successivo, perciò "il primo della lista" è buono (passo base) ma se è buono il primo la sarà pure il secondo (passo induttivo), ma se è buono il secondo lo sarà pure il terzo (passo induttivo), ma se è buono il terzo lo sarà pure il quarto (passo induttivo), ma ... ad libitum ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
cut.
Proprio questo non mi era chiaro! Quindi non si verifica mai che una proposizione $A$ è vera per $n$ e per $n+1$ e non è vera, per es., per $n+7$?
Se è vera per $1$ e partendo dall'ipotesi che sia vera per $n$ hai dimostrato che è vera per $n+1$, no, non può capitare ... perché $n+7$ non è altro che $m+1$ (dove $m=n+6$) e siccome tu hai dimostrato la validità della tesi per ogni "successivo" e $m+1$ è il successivo di $m$, deve valere anche per lui ... 
"axpgn":
Se è vera per $1$ e partendo dall'ipotesi che sia vera per $n$ hai dimostrato che è vera per $n+1$, no, non può capitare ... perché $n+7$ non è altro che $m+1$ (dove $m=n+6$) e siccome tu hai dimostrato la validità della tesi per ogni "successivo" e $m+1$ è il successivo di $m$, deve valere anche per lui ...
Ok, ora ho capito un po' meglio la sua utilità...
Thanks!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo