Che procedimento usare quando il logaritmo appare nell'espon

[jellybean22]

Salve a tutti, avrei una domanda per quanto riguarda un'equazione logaritmica. Una volta arrivato alla forma $x^(logx)=10$, non so come procedere per trovare le soluzioni.


Grazie a tutti.

[Gi81]

$x^(log(x))=e^log(x^(log(x)))=e^(log(x)*log(x))=e^(log^2x)$
Quindi l'equazione diventa
$e^(log^2x)=10 rArr log^2x=log(10)$

[jellybean22]

Potresti spiegarmi, il perché di tale procedimento?

[Gi81]

Certo! Il problema di $x^log(x)$ è che abbiamo l'incognita sia come base sia come esponente della stessa potenza.
Noi siamo in grado di risolvere le equazioni dove la $x$ si trova solo nella base, o solo nell'esponente.
Quindi bisogna ricorrere a qualche artificio per modificare l'espressione $x^log(x)$, sfruttando le conoscenze che già si hanno.
Per prima cosa, ho sfruttato il fatto che $f(x)=e^log(f(x))$
Nel nostro caso, $f(x)=x^log(x)$, dunque abbiamo che $x^log(x)=e^log(x^log(x))$
Ora potrebbe sembrare che il problema si sia sistemato, perchè la $x$ compare solo nell'esponente della potenza.
Ma osserviamo l'esponente di ciò che abbiamo ottenuto: $log(x^log(x))$. E' decisamente "brutto".

Allora sfruttiamo un'altra proprietà: $log(f(x)^g(x))=g(x)*log(f(x))$
Nel nostro caso, $f(x)=x$, $g(x)=log(x)$, perciò l'esponente diventa $log(x)*log(x)$
Ma, banalmente, $log(x)*log(x)=log^2(x)$.
Ecco che tutto si è semplificato
Se non hai capito qualcosa, chiedi pure

[jellybean22]

Queste due proprietà che mi hai accennato, la prof non ce le ha ancora spiegate.... d'altronde le equazioni erano a piacere.. per cui la colpa è mia , credo che chiederò di persona a lei domani. Grazie comunque della spiegazione;)

[Gi81]

Prego, figurati

[Albert Wesker 27]

Posso intromettermi e chiedere perchè $f(x)=e^log(f(x))$? Grazie

[Gi81]

"Albert Wesker 27":Posso intromettermi e chiedere perchè $f(x)=e^log(f(x))$? Grazie

Per la definizione di logaritmo:
Che cosa è $log_a(y)$? E' l'esponente che si deve dare ad $a$ per ottenere $y$
Dunque $log(f(x))$ è l'esponente che si deve dare ad $e$ per ottenere $f(x)$
(quando si scrive $log(y)$ senza indicare la base, si intende $log_e(y)$, so che lo sai ma per scrupolo lo scrivo lo stesso)
Pertanto, $e^log(f(x))=f(x)$

[jellybean22]

Io so che $log$ indica un logaritmo in base 10, mentre $ln$ indica un logaritmo in base $e$; sbaglio O.o

[@melia]

Vedendo l'esercizio e la soluzione di Gi8 mi era venuto il dubbio che steste parlando due lingue diverse
In italiano $log_10=Log$ e $log_e=log$
In inglese $log_10=log$ e $log_e=ln$
Siamo in Italia, ma ormai molti testi e molti insegnanti si adeguano alla scrittura anglosassone, che poi è quella delle calcolatrici.
Quando vedo la forma $log$ cerco sempre di capire il contesto per individuare in quale "lingua" è scritto, non so quale intende il tuo libro. Chi è l'autore del libro?

[jellybean22]

Il mio libro intende $log_10=Log$ e $log_e=ln$

[jellybean22]

Comunque, il libro è: Il paesaggio matematico di Mariapia Fico, Gabriella Cariani, Salvatore Mattina, Silveria Goglio.

[Gi81]

Allora sono io che ho sbagliato, dando per scontato (e scontato non è, come ha fatto giustamente notare @melia, anzi è proprio sbagliato) che $log=log_e$
Dunque, ricapitolando: $log=log_10$. Faccio gli stessi passaggi di prima, mettendo $10$ al posto di $e$
$x^(log(x))=10^log(x^(log(x)))=10^(log(x)*log(x))=10^(log^2x)$
Quindi l'equazione diventa
$10^(log^2x)=10 rArr 10^(log^2x)=10^1 rArr log^2x=1$
Bisogna quindi risolvere $log^2x=1$

Riscrivo comunque le due proprietà usate, in modo più generale possibile:
1) $AA a>0, a!=1, AA y>0 $ $y=a^(log_a(y))$
2) $AA a>0, a!=1, AA y>0, AA b in RR$ $log_a(y^b)=b*log_a(y)$

Chiedo scusa a Francesco se, col mio post precedente, gli ho fatto confusione