Cardinalità e Numeri reali,non riesco a capire

[giaaaan]

scusate se non è la sezione giusta,non so di cosa fa parte,comunque
Sono al primo anno di università ed ho il corso di calcolo differenziale,sto alla seconda lezione chiamata"numeri reali",gli argomenti sono: Proprietà dei reali, assioma di Archimede, principio di Cantor, ordinamento,
distanza, disuguaglianza triangolare, intervalli limitati e non, chiusi e aperti.
Negli esercizi,ha messo questo ad esempio: ||x| – 1| ≤1
con la soluzione vicino: Ricordando che |a-l| ≤ r se e solo se l−r ≤ a ≤ l+r , si ha
||x| – 1| ≤1 ⇐⇒ 0 = 1−1 ≤ |x| ≤ 1+1 = 2 ⇐⇒ |x| ≤ 2
Avrei alcune cose da chiedervi,poichè non le ho mai studiate alle superiori e lui non ha accennato minimamente a questo.
La cardinalità,quelle barre per intenderci "|x|"stanno ad indicare il numero degli elementi di un insieme,e fino a qui ho capito la teoria,ma in pratica,vanno risolte? vanno eliminate? se si come? cosa fa cambiare alla disequazione? purtroppo anche cercando sul web trovo solo la teoria.
Ed inoltre perchè l'ha risolta così? praticamente la lezione era solo teoria e poi da questi esercizi totalmente diversi e sono abbastanza disperato.Se qualcuno è così gentile da avere pazienza e spiegarmi passo passo,grazie mille in anticipo

[Studente Anonimo]

Ho spostato in Secondaria II grado perché si tratta di una cosa molto di base che sicuramente hai fatto alle superiori.

Le barre verticali non indicano la cardinalità ma il valore assoluto (o "modulo") di un numero. $|x|$ è per definizione uguale a $x$ se $x ge 0$ e a $-x$ se $x < 0$. In altre parole il modulo di un numero è il numero stesso privato del segno meno (se ce l'ha). Per esempio $|2|=2$ e $|-2|=2$. Per esempio quando scrivi $|x| le 2$ stai chiedendo quali numeri $x$ privati del segno (se ce l'hanno) sono minori o uguali a $2$, e la risposta è $-2 le x le 2$ (ovviamente). Più in generale $|x| le m$ se e solo se $-m le x le m$.

[giaaaan]

scusa per la sezione sbagliata,comunque ti giuro non l'ho fatta alle superiori per questo mi sono trovato disperato! ho abbastanza capito adesso e sto cercando di esercitarmi molto per assimilare bene il concetto.Tuttavia volevo chiederti: nei valori assoluti dentro valori assoluti,nelle disequazioni,come devo comportarmi?

[Studente Anonimo]

"giaaaan":nei valori assoluti dentro valori assoluti,nelle disequazioni,come devo comportarmi?

In modo iterativo.

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Facciamo un esempio:

$|||x-1|-1|-1| le 1$

significa (sviluppando il valore assoluto)

$-1 le ||x-1|-1|-1 le 1$

ovvero (sommando $1$ ai tre membri)

$0 le ||x-1|-1| le 2$

La prima parte "$0 le$" non dice niente quindi possiamo rimuoverla:

$||x-1|-1| le 2$

che significa (sviluppando il valore assoluto)

$-2 le |x-1|-1 le 2$

ovvero (sommando $1$ ai tre membri)

$-1 le |x-1| le 3$

La prima parte "$-1 le$" non dice niente quindi possiamo rimuoverla:

$|x-1| le 3$

ovvero (sviluppando il valore assoluto)

$-3 le x-1 le 3$

ovvero (sommando $1$ ai tre membri)

$-2 le x le 4$.