Campo elettrostatico

[maghy2]

Salve ragazzi... eccomi di nuovo.Come al solito ho bisogno del vostro aiuto!!!
Vi scrivo il problema sperando che quello che ho fatto in parte sia giusto.

Si calcolino le componenti del campo elettrostatico E=(Ex,Ey,Ez) in una regione di spazio in cui il potenziale elettrostatico è V=(x,y,z)=k1x+K2y+k, con K1,K2,K costanti. Quale distribuzione di carica può produrre questo campo?

Io ho pensato di trovarmi il campo elettrostatico utilizzando il gradiente rispetto ad x,y,z di V cioè:

E=(Ex,Ey,Ez)= - ( derivata parziale di V rispetto ad x*ux (cioè il rispettivo versore)+derivata parziale di V rispetto ad y*uy+derivata parziale di V rispetto ad z*uz)

qui ho il dubbio (nel calcolo )

E=(Ex,Ey,Ez)=- (K1ux+K2uy)
E' corretto secondo voi?

Quale distribuzione di carica può produrre questo campo?

Qui non ho capito come si fa...o meglio so che il campo è costante (quindi direzione, verso e modulo costante ) allora la distribuzione di carica dovrebbe essere uniforme.

Il fatto che è costante me lo ha detto il prof. ma io non so come si fa a dedurlo!Potreste spiegarmi questo per favore???Grazie mille.Maghy.

[Cherubino]

La prima risposta è corretta:

[math]\vec E = - \vec \nabla V[/math]

Per la seconda domanda viene in aiuto la prima equazione di Maxwell in forma differenziale:

[math]\vec \nabla \cdot \vec E = \frac {\rho}{ \epsilon_0}[/math]

Quello che noterai applicando l'equazione, è che la densità di carica verrà nulla...
Come mai?
Ci sono delle sottigliezze xkè stai utilizzando campi che non esistono fisicamente, ovvero che non decrescono all'infinito.
Domani te lo spiego meglio, ora sono stanco.

Vorrei però farti notare, che all'interno di un condensatore a faccie parallele, il campo elettrico è in prima approssimazione uniforme. In particolare è uniforme e perpendicolare alle faccie del condensatore.
E all'interno del condensatore, nello spazio tra le faccie, non ci sono cariche libere.
Quindi come vedi la soluzione trovata prima non è completamente assurda:
due faccie di condensatore infinito (ovvero due strati infiniti di carica), creano un campo elettrico uniforme all'interno.

[maghy2]

Grazie ancora una volta Cherubino ...in realtà non sono molto sicura di aver capito però domani provo a riguardarlo.... se puoi spiegarmi meglio x favore.Grazie.

[ciampax]

Allora, come diceva Cherubino, hai per l'espessione del campo

[math]E=-\nabla V=(\partial V/\partial x,\partial V/\partial y,\partial V/\partial z)=
(K_1,K_2,0).[/math]

L'espressione precedente dimostra che il tuo campo è costante: le componenti sono date da tre costanti numeriche (in particolare l'ultima è nulla) e il vettore campo elettrico che ottieni è un vettore di modulo costante pari a

[math]\sqrt{K_1^2+K_2^2}[/math]

, situato nel piano

[math]xOy[/math]

che forma con l'asse delle x un angolo costante pari a

[math]\alpha=\arctan(K_2/K_1)[/math]

.

A questo punto puoi concludere che la tua distribuzione di cariche deve essere uniforme, piana, distribuita su una lastra di dimensione infinita in posizione verticale (visto che la componente lungo z del campo è nulla). Inoltre il valore delle due costanti ti permette anche di dire quale angolo la lastra forma con l'asse delle x.

[maghy2]

Scusa se sono sparita ma ho preferito prima studiarmi meglio l'argomento.
Volevo chiedere a ciampax ...hai scritto E= -grad V = (k1,k2,0) ma non è E= - (k1,k2,0 )?
in tal caso cambia solo la rappresentazione sull'asse cartesiano perchè mi troverei nella parte negativa?Grazie.

Volevo anche chiedere... se V(x,y,z) avesse avuto come componenti kx+k1 allora E= -(k,0) il che vuol dire che non è un piano ma una retta??? ed in tal caso sarebbe uniforme?
Grazie mille e scusatemi se sono assillante ma la fisica non è il mio forte ma devo capirla per forza .

[Cherubino]

Sì, ciampax ha dimenticato un segno meno,
ma non è questo che conta...

Other questions:
il campo

[math]\vec E = (-k, 0, 0)[/math]

è un campo uniforme, diretto in ogni punto lungo l'asse x con verso antiparallelo all'asse x e ampiezza k.
Fine, questo è tutto quello che si può dire.
Un'altra questione è "quale distrubuzione di carica può generare questo campo?"
la risposta è "due piani di carica infiniti, disposti lungo il piano yz, a distanza infinita".
O meglio, approssimativamente il campo elettrico dentro un condensatore piano è uniforme e ortogonale alle facce. SE tu orienti il condensatore in maniera da avere il campo elettrico antiparallelo all'asse x (o meglio, nomini "asse x" una linea retta antiparallela al campo elettrico), hai dentro il condensatore un campo elettrico bene approssimato da quella funzione.