Campo elettrico

[giuseppe87x]

Questa dimostrazione proprio non mi riesce. Credo di aver eseguito le giuste sostituzioni, di aver integrato bene, ma niente.

Una sottile bacchetta isolante di lunghezza finita L possiede una carica totale q (positiva), distribuita uniformemente su di essa. Si dimostri che l'intensità E del campo elettrico nel punto P sull'asse perpendicolare della bacchetta (a una distanza y dalla bacchetta) è dato da:

[vecchio1]

l'ho fatto proprio stamattina a lezione!!!
cerco di scrivere in modo più chiaro possibile perchè ora non ho un editor che scriva formule matematiche...
provo a fare un disegno ok?

             ^y
             |
            /|\
           / |@\
          /  |  \
         /   |   \
        /    |    \
       /     |     \
      /      |      \
     /       |       \
    /        |        \
   /         |         \
  /          |          \
 /___________|___________\
|_________________________|---------------->x
-L/2         0           L/2

spero che si capisca...il rettangolo in basso dovrebbe essere il filo...
valutiamo il campo elettrico nel punto (0,y,0).
il campo E si trova sul piano xy perchè il filo non si "estende" in z. quindi Ez=0
ora Ex=0, lungo l'asse y, perchè la parte a destra e a sinistra del filo si elidono.

resta quindi da risolvere il seguente integrale per calcolare

           __
      1    |           ò * dS * (y-y')
Ey=------- |  ----------------------------------
    4piE0 _|  [(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2]^(3/2)
           

doce E0 è "epsilon 0", (x,y,z) sono le coordinate della carica di prova (quindi saranno (0,y,0) e (x',y',z') sono le coordinate della cairca generante il campo.
ò è la densità lineare di carica per la quale dq=ò*dS.

facciamo le dovute sempliicazioni e procediamo con la risoluzione dell'integrale...

           __ L/2
      1    |                 ò * dx' * y
Ey=------- |     ----------------------------------
    4piE0 _|            [(x')^2+(y)^2]^(3/2)
             -L/2

a questo punto opero la sostituzione x'/y=tg@
x'=y*tg@ e dx'=y/cos^2(@) d@
gli estremi di integrazione diventano @A e @B.
l'integrale diventa:

           __ @B
      1    |                 ò * y                           1
Ey=------- |     ----------------------------------------*---------- d@=
    4piE0 _|            [(y)^2 * tg^2(@)+(y)^2]^(3/2)      cos^2(@)
              @A


           __ @B
      1    |                        ò                         1
  =------- |     ----------------------------------------*---------- d@=
    4piE0 _|            (y)^2 *[tg^2(@)+1]^(3/2)           cos^2(@)
              @A


               __ @B
      ò        |                        1                         1
  =----------  |     ----------------------------------------*---------- d@=
    4piE0*y^2 _|                   [tg^2(@)+1]^(3/2)           cos^2(@)
               @A

fai un po' di giochini con la trigonometria e vedrai che la prima frazione nell'integrale diventa cos^3(@), quindi:

               __ @B                         
      ò        |                    ò        
  =----------  |     cos(@) d@= ----------- [sin(@B)-sin(@A)]=
    4piE0*y^2 _|                 4piE0*y^2  
               @A

adesso sai che sin(@A)=-sin(@B)=(L/2)/sqrt[(L/2)^2+y^2]

quindi il rislutato è:

                                       
        ò                L   
  =---------- * ---------------------
    4piE0*y^2    sqrt[(L/2)^2 + y^2]
              

ora non so quanto dovesse venire a te in quanto l'immagine che hai postato non si vede...cmq quetso procedimento dovrebbe essere giusto...

ciao
il vecchio

[giuseppe87x]

Vecchio innanzitutto ti ringrazio per la tua spiegazione.
Ne hai avuta di pazienza scrivendo tutto quel procedimento...[:D]
Non so perchè l'immagine non si veda cmq il risultato dovrebbe essere

E = q/(2piE0y)*1/(L^2+4y^2)^1/2

Più tardi (ora non ho tempo) posto la mia soluzione e mi dici che ne pensi.
Comunque l'esercizio è tratto da un libro di liceo quindi penso che dovrebbe essere possibile risolverlo con un metodo un pò più semplice come ho fatto con gli altri.
Grazie ancora e fammi sapere che ne pensi della soluzione che posterò più tardi.
Ciao

[giuseppe87x]

Però ripensandoci il tuo risultato potrebbe andare bene se non fosse per quell' y^2 nel primo fattore che dovrebbe essere solo y...

[giuseppe87x]

Ecco la mia soluzione





Ora non so come continuare.

[MaMo2]

Giuseppe87x, nella tua soluzione ci sono due errori.
1) Gli estremi di integrazione sono -L/2 e L/2
2) l'integrale indefinito diventa (lambda*y/4*pi*e0)(x/[y^2sqrt(x^2 + y^2)]).

[giuseppe87x]

MaMo io non ho studiato ancora gli integrali, so svolgere solo quelli con il metodo di sostituzione, però qui sul mio libro di fisica si legge nella tabella degli integrali:
int(dx/(x^2+a^2)^3/2) = 1/(a^2(x^2+a^2)^1/2)
Scusate se insisto ma vorrei capire pienamente il procedimento risolutivo.
Ciao e un altro grazie a chi mi darà nuovamente una mano.

[MaMo2]

Il tuo libro di fisica sbaglia.
Se non hai fatto gli integrali, per rendertene conto, basta fare la verifica derivando la funzione da te trovata.

[giuseppe87x]

MaMo hai posto fine a una settimana di frustrazioni.
Hai ragione il mio libro sbaglia, ho controllato derivando la funzione e verificandone il risultato con Derive.
Uno dei difetti che ha il mio libro è sicuramente quello di essere pieno di errori di stampa.
E pensare che io sono stato una settimana a fare problemi di questo genere senza che me ne riuscisse neanche uno, non sapendo che la colpa era tutta di questo maledetto integrale.
Ora mi passerò il tempo a controllare tutta questa benedetta tabella degli integrali.
Ciao e grazie.

[vecchio1]

scusa ma avevo perso di vista questo topic...ma per fortuna mamo è sempre efficientissimo all'occorrenza...
cmq non preocuparti...io sbaglio gli integrali anche senza tabella! [;)]
l'altro giorno ho calcolato il campo elettrico in un punto (x,y,0)e ottenevo che miracolosamente questo era uguale a quello di sopra scritto!! incredibile! questo significava che il campo elettrico verticale non dipende da x!! fantastico!! premio nobel assicurato!!
quindi vuol dire che se io ho una barretta uniformemente carica in mano...sto influenzando in qualche modo un esperimento del CERN!!!!...da questa ipotesi ho capito che doveva esserci qualcosa che non andava...
anche io, come te, avevo sbagliato estremi di integrazione!! [:P]

ciao
il vecchio

[giuseppe87x]

Hai ragione vecchio. Non vedo l'ora comunque di fare bene a scuola questi integrali così non userò più la tabella.