Campo di esistenza sull'indice di radice
Determinare il campo di esistenza di
A) y = $root(x)(4)$
B) esiste la $root(e)(5)$? Cioè con indice di radice irrazionale?
C) esiste la $root(3/2)(5)$? Cioè con indice di radice razionale?
D) esiste la $root(0)(5)$?
Grazie in anticipo per la risposta
A) y = $root(x)(4)$
B) esiste la $root(e)(5)$? Cioè con indice di radice irrazionale?
C) esiste la $root(3/2)(5)$? Cioè con indice di radice razionale?
D) esiste la $root(0)(5)$?
Grazie in anticipo per la risposta
Risposte
"dbh":
Determinare il campo di esistenza di
A) y = $root(x)(4)$
B) esiste la $root(e)(5)$? Cioè con indice di radice irrazionale?
C) esiste la $root(3/2)(5)$? Cioè con indice di radice irrazionale?
Grazie in anticipo per la risposta
Non basta considerare $root(y)(x)$ come $x^{1/y}$?
E in che senso $\frac{3}{2}$ sarebbe irrazionale?
"ghira":---> credo di no, altrimenti non avrei posto la domanda
Non basta considerare $root(y)(x)$ come $x^{1/y}$?
"ghira":----> ho corretto, scusami. Intendevo razionale.
E in che senso $\frac{3}{2}$ sarebbe irrazionale?
"dbh":---> credo di no, altrimenti non avrei posto la domanda
[quote="ghira"] Non basta considerare $root(y)(x)$ come $x^{1/y}$?
[/quote]
Considera $root(y)(x)$ come $x^{1/y}$, allora.
La radice n-esima di un numero reale non negativo richiede che $n in NN-{0}$, altrimenti vai a finire negli esponenziali.
Quindi
A) $ y = root(x)(4)$ esiste per $x in NN-{0}$
B) esiste la $root(e)(5)$? No, perché l'indice di radice non è naturale
C) esiste la $root(3/2)(5)$? No, perché l'indice di radice non è naturale
D) esiste la $root(0)(5)$? No, perché la definizione chiede che l'indice sia naturale escluso lo 0
In ogni caso tutto quello che ti ha detto ghira vale, cioè puoi scrivere nelle forme esponenziali e calcolarli, ma sei fuori dai radicali.
Quindi
A) $ y = root(x)(4)$ esiste per $x in NN-{0}$
B) esiste la $root(e)(5)$? No, perché l'indice di radice non è naturale
C) esiste la $root(3/2)(5)$? No, perché l'indice di radice non è naturale
D) esiste la $root(0)(5)$? No, perché la definizione chiede che l'indice sia naturale escluso lo 0
In ogni caso tutto quello che ti ha detto ghira vale, cioè puoi scrivere nelle forme esponenziali e calcolarli, ma sei fuori dai radicali.
Grazie 
Di alcune risposte è interessante andare a guardare la motivazione "profonda"...
E perché?
Perché c'è un teorema (che si dimostra) e che te lo assicura. Il teorema è il seguente:
e rende lecita la definizione che segue:
E questo deriva direttamente -di nuovo- dal teorema e dalla definizione precedente.
E perché lo richiede?
Perché il teorema non può valere per $n=0$. E perché non può valere per $n=0$?
Ciò è abbastanza evidente e lo possiamo mostrare proprio prendendo $a=5$... Quale può essere il numero $b >= 0$ che soddisfa l'uguaglianza:
$b^0 = 5$?
Nessuno, perché:
"@melia":
La radice n-esima di un numero reale non negativo richiede che $n in NN-{0}$, altrimenti vai a finire negli esponenziali.
Quindi
A) $ y = root(x)(4)$ esiste per $x in NN-{0}$
E perché?
Perché c'è un teorema (che si dimostra) e che te lo assicura. Il teorema è il seguente:
Comunque si scelga $n in NN$ con $n!=0$, per ogni $a >= 0$ esiste un unico numero $b >= 0$ tale che:
(*) $b^n = a$.
e rende lecita la definizione che segue:
L'unico numero $b$ che gode della proprietà (*) si chiama radice $n$-esima di $a$ e si indica col simbolo $root(n)(x)$.
"@melia":
B) esiste la $root(e)(5)$? No, perché l'indice di radice non è naturale
C) esiste la $root(3/2)(5)$? No, perché l'indice di radice non è naturale
E questo deriva direttamente -di nuovo- dal teorema e dalla definizione precedente.
"@melia":
D) esiste la $root(0)(5)$? No, perché la definizione chiede che l'indice sia naturale escluso lo 0
E perché lo richiede?
Perché il teorema non può valere per $n=0$. E perché non può valere per $n=0$?
Ciò è abbastanza evidente e lo possiamo mostrare proprio prendendo $a=5$... Quale può essere il numero $b >= 0$ che soddisfa l'uguaglianza:
$b^0 = 5$?
Nessuno, perché:
- [*:2gqau2oh] non può essere $b=0$ perché $0^0$ non è definito
[/*:m:2gqau2oh]
[*:2gqau2oh] e non può essere $b>0$ perché in tal caso $b^0=1$ ed evidentemente $1!=5$.[/*:m:2gqau2oh][/list:u:2gqau2oh]
\(0^0\) fa 1.
Dai, vediamo di non incasinare i bimbi... Grazie.
"gugo82":
Dai, vediamo di non incasinare i bimbi... Grazie.
A tenerlo non definito si fa molto più casino:
-\(0^0\) è la cardinalità dell'insieme delle funzioni dall'insieme vuoto all'insieme vuoto: ce n'è esattamente una. Equivalentemente, \(b^0\) è la cardinalità del prodotto vuoto di copie di $b$: ancora una volta, deve essere 1 per ogni $b$, anche \(b=\varnothing\).
- Il limite \(\lim_{x\to 0^+}x^x\) fa 1.
- La regola di derivazione di una potenza \(\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\) vale per \(n=1\), intorno a \(x=0\), solo se si definisce \(0^0=1\).
- La serie esponenziale ha l'espressione che conosci bene solo se si pone \(0^0=1\).
- L'espansione del binomio di Newton \(1+t)^n=\sum\binom nk t^k\) è veraper \(t=0\) solo se (0^0=1\).
Il casino inizia quando si interpreta \(0^0\) come un valore limite (cosa che non è), perché si cerca di ricondurre la non-definitezza di \(0^0\) alla non-definitezza della funzione \((x,y)\mapsto x^y\).
Tanto più che questa non è la "mia" opinione (può essere un'opinione una cosa che si dimostra?):
Don Knuth <>
Sì, sono tutte cose arcinote... Il punto è: ti sei mai chiesto perché non convenga definirlo a livello elementare?
Ovviamente non me ne (è mai) importa(to) nulla del livello elementare: semplificare le definizioni per "non fare casino ai bimbi" -cioè nascondere il fatto che queste questioni sono complesse, e per definire correttamente la quantità \(0^0\) bisogna vedere le cose dall'alto- è quello che mi faceva trovare incomprensibile e farraginosa la matematica vista a scuola. Perché siete stupidi e ignoranti, non vale la pena (o non so farlo) spiegarvi come stanno veramente le cose. In caso non si capisse, quello che mi dà fastidio qui è cambiare un teorema perché sarebbe troppo difficile spiegare il motivo per cui la risposta giusta è effettivamente giusta.
Per il resto: uno studente rompicoglioni (ma non è nemmeno che io rompevo i coglioni: a scuola mi rassegnavo semplicemente a pensare di essere circondato, da coglioni) potrebbe chiederti: ma \(0^0\) è "non definito" nello stesso senso in cui non è definito \(1/0\)? E la risposta, ovviamente, è no, il motivo per cui può essere una quantità problematica è diverso (e soprattutto, ripeto, \(0^0\) non è indefinito: fa esattamente, precisamente, la quantità uno, trovare diversamente si basa su un errore concettuale).
Ma vatti a impelagare, ora, a spiegare qual è la differenza tra un tipo di "indeterminato" e un altro... Sicché tu cosa gli risponderesti? Non trovi molto più confusionario dirgli che è una quantità indefinita, se non lo è davvero, o dover spiegare in che senso ci sono diversi tipi di "indefinitezza"?
Poi magari questo povero cristo, che sebbene si sia trovato in un itis (o dovunque tu insegni), fa domande profonde, va a studiare matematica per adulti, si ricorda di te, e oltre a venirgli un coccolone al ricordo della tua facciona... resta confuso e derelitto, perché il prof gli aveva detto un'altra cosa! E allora come stanno le cose? Chi mi sta mentendo? La matematica non doveva essere esente da opinione?
Personalmente, a quello studente rompicoglioni direi (e dico, quando devo spiegare cose analoghe che soffrono di questo problema), che "\(0^0\) fa 1, ma serve un po' di astuzia per capire perché, dato che se provate a manipolare l'espressione \(0^0\) con le regole dell'aritmetica elementare, ottenete risultati contrastanti tra loro. Per il momento, fidati, oppure abbi la pazienza di ascoltarmi mentre ti spiego tutto quello che non sai per apprezzare la dimostrazione che \(0^0\) fa 1."
Semplice e onesto.
Tra l'altro, qualcosa di completamente analogo succede con \(1^{\sqrt{-1}}\), e dietro la domanda "professore, ma quanto fa \(1^i\)?" c'è uno degli aneddoti che mi è più caro riguardo alla mia carriera universitaria, sicché sì, sono cose arcinote, e sono cose a cui tengo e a cui ho pensato... ovviamente, lo ripeto, del tutto indifferente alla pedagogia (cioè a quello che sarebbe prematuro spiegare "onestamente", data la giovane età dei discenti), perché il mio lavoro è capire la matematica ad alto livello, insegnarla alle superiori è il tuo. E per fortuna, direi, non credo saremmo molto a nostro agio a ruoli scambiati!
Per il resto: uno studente rompicoglioni (ma non è nemmeno che io rompevo i coglioni: a scuola mi rassegnavo semplicemente a pensare di essere circondato, da coglioni) potrebbe chiederti: ma \(0^0\) è "non definito" nello stesso senso in cui non è definito \(1/0\)? E la risposta, ovviamente, è no, il motivo per cui può essere una quantità problematica è diverso (e soprattutto, ripeto, \(0^0\) non è indefinito: fa esattamente, precisamente, la quantità uno, trovare diversamente si basa su un errore concettuale).
Ma vatti a impelagare, ora, a spiegare qual è la differenza tra un tipo di "indeterminato" e un altro... Sicché tu cosa gli risponderesti? Non trovi molto più confusionario dirgli che è una quantità indefinita, se non lo è davvero, o dover spiegare in che senso ci sono diversi tipi di "indefinitezza"?
Poi magari questo povero cristo, che sebbene si sia trovato in un itis (o dovunque tu insegni), fa domande profonde, va a studiare matematica per adulti, si ricorda di te, e oltre a venirgli un coccolone al ricordo della tua facciona... resta confuso e derelitto, perché il prof gli aveva detto un'altra cosa! E allora come stanno le cose? Chi mi sta mentendo? La matematica non doveva essere esente da opinione?
Personalmente, a quello studente rompicoglioni direi (e dico, quando devo spiegare cose analoghe che soffrono di questo problema), che "\(0^0\) fa 1, ma serve un po' di astuzia per capire perché, dato che se provate a manipolare l'espressione \(0^0\) con le regole dell'aritmetica elementare, ottenete risultati contrastanti tra loro. Per il momento, fidati, oppure abbi la pazienza di ascoltarmi mentre ti spiego tutto quello che non sai per apprezzare la dimostrazione che \(0^0\) fa 1."
Semplice e onesto.
Tra l'altro, qualcosa di completamente analogo succede con \(1^{\sqrt{-1}}\), e dietro la domanda "professore, ma quanto fa \(1^i\)?" c'è uno degli aneddoti che mi è più caro riguardo alla mia carriera universitaria, sicché sì, sono cose arcinote, e sono cose a cui tengo e a cui ho pensato... ovviamente, lo ripeto, del tutto indifferente alla pedagogia (cioè a quello che sarebbe prematuro spiegare "onestamente", data la giovane età dei discenti), perché il mio lavoro è capire la matematica ad alto livello, insegnarla alle superiori è il tuo. E per fortuna, direi, non credo saremmo molto a nostro agio a ruoli scambiati!
Insomma, non te lo sei mai chiesto.
Puoi infiorettare il post come vuoi, ma la sostanza è questa. Bene così.
Ah, e comunque sì, anch'io agli studenti curiosi (non "rompicoglioni", bada bene[nota]I rompicoglioni sono altri: quelli che ogni giorno ti chiedono compulsivamente il voto del compito, perché gli serve il numerino per capire se stanno capendo... Come se il numerino fosse una certificazione del fatto che stanno capendo qualcosa più di una domanda posta bene al momento opportuno.[/nota], e ce ne sono parecchi dalle mie parti, anche più di te alla loro età) rispondo come fai tu... Anzi, sono quelle le domande che mi aspetto e che mi danno soddisfazione nel fare il mio mestiere.
E rispondendo ci perdo anche i quarti d'ora interi, fottendomene del resto.
Perché, come te, di Matematica ne capisco qualcosa e me ne importa un pochettino, nonostante non condivida le tue stesse vedute.
Puoi infiorettare il post come vuoi, ma la sostanza è questa. Bene così.
Ah, e comunque sì, anch'io agli studenti curiosi (non "rompicoglioni", bada bene[nota]I rompicoglioni sono altri: quelli che ogni giorno ti chiedono compulsivamente il voto del compito, perché gli serve il numerino per capire se stanno capendo... Come se il numerino fosse una certificazione del fatto che stanno capendo qualcosa più di una domanda posta bene al momento opportuno.[/nota], e ce ne sono parecchi dalle mie parti, anche più di te alla loro età) rispondo come fai tu... Anzi, sono quelle le domande che mi aspetto e che mi danno soddisfazione nel fare il mio mestiere.
E rispondendo ci perdo anche i quarti d'ora interi, fottendomene del resto.
Perché, come te, di Matematica ne capisco qualcosa e me ne importa un pochettino, nonostante non condivida le tue stesse vedute.
Ma se rispondi come faccio io, di che stiamo parlando? \(0^0\) fa 1, o per dei motivi "di alto livello" o per dei motivi più elementari, ma sempre 1 fa.
- "E' sconveniente perché i discenti non hanno i prerequisiti per apprezzare la risposta": ma questa è la risposta di un individuo debole, darglieli è lo scopo del tuo mestiere. Tanto più che, relativamente alla matematica, ritengo la pedagogia una materia da fichette, e quindi mi sono detto che non me ne importa nulla del perché conviene lasciarlo indefinito a un livello elementare: qualsiasi motivo per nascondere una definizione è sbagliato per principio, il principio essendo la trasparenza nei confronti del discente.
- "Ci sono dei contesti in cui la risposta è diversa"; ma quei contesti non hanno dignità (non tutte le risposte sono allo stesso livello di dignità, così come non tutte le persone che "ne capiscono qualcosa di matematica" sono allo stesso livello di competenza), e quelle che -se ben ricordo, tu hai menzionato in altra sede- affermano che \(0^0\ne 1\) si basano su una mala interpretazione del linguaggio; di contro la maggioranza di giustificazioni a favore dell'affermare che \(0^0=1\) è schiacciante.
Non ho bisogno di altra ragione, se ce n'è una terza, dammela, ma per convincermi deve chiamare in causa la matematica (o un matematico bravo, tipo Knuth), non la pedagogia.
Insomma, non te lo sei mai chiesto.Me lo sono chiesto: mi dò due ragioni.
Puoi infiorettare il post come vuoi, ma la sostanza è questa. Bene così.
- "E' sconveniente perché i discenti non hanno i prerequisiti per apprezzare la risposta": ma questa è la risposta di un individuo debole, darglieli è lo scopo del tuo mestiere. Tanto più che, relativamente alla matematica, ritengo la pedagogia una materia da fichette, e quindi mi sono detto che non me ne importa nulla del perché conviene lasciarlo indefinito a un livello elementare: qualsiasi motivo per nascondere una definizione è sbagliato per principio, il principio essendo la trasparenza nei confronti del discente.
- "Ci sono dei contesti in cui la risposta è diversa"; ma quei contesti non hanno dignità (non tutte le risposte sono allo stesso livello di dignità, così come non tutte le persone che "ne capiscono qualcosa di matematica" sono allo stesso livello di competenza), e quelle che -se ben ricordo, tu hai menzionato in altra sede- affermano che \(0^0\ne 1\) si basano su una mala interpretazione del linguaggio; di contro la maggioranza di giustificazioni a favore dell'affermare che \(0^0=1\) è schiacciante.
Non ho bisogno di altra ragione, se ce n'è una terza, dammela, ma per convincermi deve chiamare in causa la matematica (o un matematico bravo, tipo Knuth), non la pedagogia.
Lo scopo del mio mestiere non è "dare i mezzi", ma "dare i mezzi a tempo debito", sapendo cioè discernere quando è il tempo debito per ognuno.
Il 99.5% delle volte non dai una minimoto in mano ad un bimbo, perché sai che ci si schianta; ma lo 0.5% delle volte capisci che hai davanti un Valentino Rossi e gliela dai.
Il 99.5% delle volte non insegni la grammatica ad un bimbo, perché sai che non ha ancora una esperienza del linguaggio tale da capire cosa significa ed a che serve; ma lo 0.5% delle volte capisci che hai davanti una persona sufficientemente matura e gliela spieghi.
Il 99.5% non inserisci argomenti di CT in un corso per studenti del primo anno, perché non hanno sufficiente esperienza della Matematica per capirne il significato ed a cosa serva; ma lo 0.5% delle volte trovi il rompicoglioni[nota]Ogni riferimento è puramente casuale.[/nota] che è già pronto e glieli metti in mano.
Il mestiere del docente è capire quando uno studente fa parte dello 0.5%, cercando di portare lì anche parte del restante 99.5% degli altri.
Il discorso da fighetta lo stai facendo tu, visto che pretendi di confrontarti col problema non da dentro, mentre ti sporchi le mani, bensì dal di fuori, coi guantini bianchi da lasciare immacolati, con un idealismo fuori tempo massimo.
Il 99.5% delle volte non dai una minimoto in mano ad un bimbo, perché sai che ci si schianta; ma lo 0.5% delle volte capisci che hai davanti un Valentino Rossi e gliela dai.
Il 99.5% delle volte non insegni la grammatica ad un bimbo, perché sai che non ha ancora una esperienza del linguaggio tale da capire cosa significa ed a che serve; ma lo 0.5% delle volte capisci che hai davanti una persona sufficientemente matura e gliela spieghi.
Il 99.5% non inserisci argomenti di CT in un corso per studenti del primo anno, perché non hanno sufficiente esperienza della Matematica per capirne il significato ed a cosa serva; ma lo 0.5% delle volte trovi il rompicoglioni[nota]Ogni riferimento è puramente casuale.[/nota] che è già pronto e glieli metti in mano.
Il mestiere del docente è capire quando uno studente fa parte dello 0.5%, cercando di portare lì anche parte del restante 99.5% degli altri.
Il discorso da fighetta lo stai facendo tu, visto che pretendi di confrontarti col problema non da dentro, mentre ti sporchi le mani, bensì dal di fuori, coi guantini bianchi da lasciare immacolati, con un idealismo fuori tempo massimo.
"gugo82":
Di alcune risposte è interessante andare a guardare la motivazione "profonda"...(cut)...
Scusami tanto gugo, ma di cosa stiamo parlando? Della definizione di radice o di come spieghi i radicali ai tuoi studenti? O credi che l'estensione del concetto sia insita nella definizione?
La definizione di radice parla esplicitamente di indice naturale positivo, non fare il finto tonto con il tuo Teorema dimostrabile, non è la prima volta che vedo i radicali, né mi sono mai fermata alla pedestre definizione. Stavo solo rispondendo ad una persona che deve affrontare dei test a risposta multipla nei quali, con ogni probabilità, la richiesta è quella di applicare pedestremente la definizione.
Il discorso da fighetta lo stai facendo tu, visto che pretendi di confrontarti col problema non da dentro, mentre ti sporchi le mani, bensì dal di fuori, coi guantini bianchi da lasciare immacolati, con un idealismo fuori tempo massimo.No, col problema non mi confronto affatto, e ho deciso di evitarlo quando ho fortunatamente deciso che a fare il lavoro che fai tu preferivo farmi tagliare le palle.[¹] Adesso mi limito a lamentarmi del fatto che chi quel lavoro lo fa, solitamente lo fa male, perché sa troppa poca matematica per farlo. Del resto non ho intenzione di cambiare le cose (cui prodest? Certo non me), e questo è un enorme off topic (come sempre quando io e te parliamo, perché finiamo a fare discorsi di principio).
Volevo solo sottolineare che \(0^0\) fa 1, nulla più.
[¹] Ovviamente questa è solo una mezza verità: il motivo è che capisco la tua risposta (su cosa sia il tuo mestiere), ma non condivido il principio didattico perché lo trovo molle, perché sono un sadico (nella metafora motociclistica: "schiantati pure, mi divertirò a guardarti!") e ho della conoscenza una visione elitaria ("ci mancherebbe che solo lo 0.5% delle persone ci arriva. Io parlo a quelle!").
Se una persona come me facesse l'insegnante, farebbe solo danni (rovinando la vita agli altri), o peggio: la rovinerebbe a me, constringendomi a venire a patti col mio idealismo.
"gugo82":
...
Grazie
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