Campo di esistenza funzione
Eccomi di nuovo sul forum.
Stamattina c'era compito di matematica, riguardo lo studio di funzioni.
(Per la cronaca, erano 11 esercizi, dei quali ho risolto 10 con sicurezza e in poco tempo. Si trattava di alcuni quesiti teorici, d funzioni definite per casi, grafici vari, funzioni inverse, composizione di funzioni e campi di esistenza).
Un unico esercizio mi ha però fatto decisamente perdere il buonumore del compito andato tutto sommato bene: riguardava un campo di esistenza di funzione lineare.
Ora, non ricordo il numeratore (ma sono certo non influenzasse nulla) bensì solo il denominatore della frazione.
$y= X/(|3+x|-3x+1)$.
Sono andato a considerare (sbagliando) che il denominatore dovesse essere diverso da zero.
Per cui, ho imposto:
$3+x-3x+1 != 0$ e $-3-x-3x+1 != 0$
da cui ho ricavato $x != 2$ che peraltro è valore da includere nel $C.E.$ in quanto andando a sostituire abbiamo l'annullamento del denominatore;
e però ho ricavato anche $x != -1/2$ che, analiticamente, non fa una piega, (se si considera la seconda equazione) ma, andando a sostituire, l'annullamento del denominatore NON C'E' quindi il valore non può fare parte del $C.E.$.
In definitiva: la risoluzione dell'esercizio è certamente sbagliata, ma come avrei dovuto fare per risolvere bene?
Stamattina c'era compito di matematica, riguardo lo studio di funzioni.
(Per la cronaca, erano 11 esercizi, dei quali ho risolto 10 con sicurezza e in poco tempo. Si trattava di alcuni quesiti teorici, d funzioni definite per casi, grafici vari, funzioni inverse, composizione di funzioni e campi di esistenza).
Un unico esercizio mi ha però fatto decisamente perdere il buonumore del compito andato tutto sommato bene: riguardava un campo di esistenza di funzione lineare.
Ora, non ricordo il numeratore (ma sono certo non influenzasse nulla) bensì solo il denominatore della frazione.
$y= X/(|3+x|-3x+1)$.
Sono andato a considerare (sbagliando) che il denominatore dovesse essere diverso da zero.
Per cui, ho imposto:
$3+x-3x+1 != 0$ e $-3-x-3x+1 != 0$
da cui ho ricavato $x != 2$ che peraltro è valore da includere nel $C.E.$ in quanto andando a sostituire abbiamo l'annullamento del denominatore;
e però ho ricavato anche $x != -1/2$ che, analiticamente, non fa una piega, (se si considera la seconda equazione) ma, andando a sostituire, l'annullamento del denominatore NON C'E' quindi il valore non può fare parte del $C.E.$.
In definitiva: la risoluzione dell'esercizio è certamente sbagliata, ma come avrei dovuto fare per risolvere bene?
Risposte
Sono completamente d'accordo con te; una funzione lineare a scuola diventa non lineare all'università? ma che storia è? La matematica è una sola, va insegnata correttamente in ogni ordine e grado di istruzione.
"Luca.Lussardi":
Una funzione reale di variabile reale (definizione semplificata ma adatta al caso da liceo senza scomodare cose più avanzate) si dice lineare se esiste $a \in \RR$ tale per cui $f(x)=ax$. Una funzione si dice algebrica se è della forma $f(x)=p(x)$ con $p(x)$ polinomio in $x$: solo in questo caso si può parlare di grado, poichè ci si riconduce al grado del polinomio. Infine una funzione si dice razionale se è della forma $f(x)=(p(x))/(q(x))$ con $p,q$ polinomi. E' ovvio che ogni funzione lineare è anche algebrica e anche razionale. Una funzione che non è razionale non ha un nome specifico ben codificato, a meno che uno non vada in cose avanzate ma che non è il caso della scuola. Qui finisce la storia a cui tutti devono attenersi.
Nel caso specifico pare che l'insegnante chiami irrazionale lineare una funzione che contiene un radicale di un polinonio di primo grado; è una sua definizione, per altro con abuso di linguaggio, poichè una funzione algebrica di grado uno non è lineare se vi è il termine noto. Non è una cosa abituale, anche perchè non è detto che una funzione non razionale contenga necessariamente radici, potrebbe anche contenere oggetti più complessi.
sono d'accordo sulla questione di fondo che non bisogna dare definizioni errate a livello di scuola media (mai!), ed anche dissento su alcuni testi che trasformano l'equazione y=f(x), anche irrazionale e/o frazionaria fino a "farla diventare" un polinomio uguagliato a zero P(x,y)=0 e dicono che la funzione ha grado n se il polinomio ha grado n.
però io sono abituata a considerare equazione lineare in due incognite "ax+by+c=0", con a,b non entrambi nulli.
dal punto di vista delle funzioni di equazione y=f(x), posso accettare la limitazione a y=P(x) dove x è un polinomio di primo grado in x, quindi mi sarei aspettata più una limitazione del tipo $m != 0$ all'equazione lineare $y=mx+q$, piuttosto che $q=0$, perché non credo ci sia discordanza anche sulla definizione di grado di un polinomio, e non esistono solo polinomi omogenei.
io, tra "funzione di diretta proporzionalità" e "funzione lineare" faccio un tipo di distinzione analoga a quella che c'è tra "spazio vettoriale lineare" e "varietà lineare".
dove sbaglio? perché si chiama lineare solo una funzione che io considero di diretta proporzionalità?
un'altra questione sollevata da Luca mi lascia perplessa. io ho sempre chiamato funzione algebrica una funzione analitica di equazione y=f(x) tale che in f(x) compaiano solo operazioni algebriche (questo a differenza delle funzioni trascendenti): non è così? se è sbagliato anche questo vuol dire che possiamo fare un falò di tutti i testi in commercio, ed anzi devo correre a correggere la definizione che comparirà sul manuale che stiamo scrivendo...
grazie dell'attenzione. aspetto un chiarimento. ciao.
"adaBTTLS":
un'altra questione sollevata da Luca mi lascia perplessa. io ho sempre chiamato funzione algebrica una funzione analitica di equazione y=f(x) tale che in f(x) compaiano solo operazioni algebriche (questo a differenza delle funzioni trascendenti): non è così?
Accodo anche la mia perplessità...
Il termine funzione algebrica è rischioso, se uno va in geometria algebrica si fa confusione. Sarebbe meglio chiamarle polinomiali; però anche l'analiticità come dite voi mi sembra troppo forte...
Una funzione polinomiale il cui polinomio e di 1° grado viene chiamata funzione lineare.
quando abbiamo $y=mx+c$ con $c=0$ e $y=mx$ è anche un applicazione lineare ma non smette di essere una funzione lineare.
In questo caso diventa + un problema linguistico e di uso.
Resto del parere che usare altre definizioni customizzate dai professori sia un grosso errore.
quando abbiamo $y=mx+c$ con $c=0$ e $y=mx$ è anche un applicazione lineare ma non smette di essere una funzione lineare.
In questo caso diventa + un problema linguistico e di uso.
Resto del parere che usare altre definizioni customizzate dai professori sia un grosso errore.
Mah, io rimango non d'accordo con questa impostazione, per altro è proprio questo il problema della scuola italiana (e forse anche non solo): insegnare delle cose sbagliate che poi lo studente si tira appresso oltre, e alla fine all'università fa solo confusione perchè trova altre definizioni della stessa cosa, e si vedono i casini che si vedono. Non sarebbe meglio uniformarsi? Una funzione (o applicazione, sono sinonimi) lineare è una funzione tale per cui $f(x+y)=f(x)+f(y)$ e $f(ax)=af(x)$ per ogni $a$ scalare e $x,y$ variabili. Ne segue che una funzione lineare da $\RR$ in $\RR$ ha la forma $f(x)=mx$.
[size=75]Ho messo la parentesi dove ci voleva $f(ax)=.. $
Camillo[/size]
[size=75]Ho messo la parentesi dove ci voleva $f(ax)=.. $
Camillo[/size]
Certo la conseguenza tratta da Luca.Lussardi è ineccepibile: il grafico di una funzione lineare deve passare per l'origine.
Mi chiedo però: la premessa, cioè funzione = applicazione e quindi funzione lineare= applicazione lineare è incontrovertibile ?
Ad esempio wikipedia non è sulla stessa linea di pensiero, nel senso che fa distinzione tra
* funzione lineare
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_lineare
e
* applicazione lineare
http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_lineare
Mi chiedo però: la premessa, cioè funzione = applicazione e quindi funzione lineare= applicazione lineare è incontrovertibile ?
Ad esempio wikipedia non è sulla stessa linea di pensiero, nel senso che fa distinzione tra
* funzione lineare
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_lineare
e
* applicazione lineare
http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_lineare
E' vero, l'ho notato anche io; è ovvio che non si può dire che sia sbagliato, è solo una questione di nome. Però il termine funzione è del tutto equivalente al termine applicazione, sono la stessa identica cosa, quindi già qui volendo wikipedia si contraddice. Diverso è il caso delle equazioni lineari, quelle sì sono della forma $ax+b=0$.
Però alla fine uno studente universitario ti viene a dire che l'applicazione $f(x)=mx+q$ è sempre lineare e ti dice che l'ha imparato a scuola.... e che cosa facciamo allora? Ci vorrebbe uno sforzo da parte degli insegnanti della scuola, cercare di cambiare approccio e non uniformarsi ai pessimi testi che ancora dicono che $1/x$ è discontinua in $x=0$. In questo fatto appoggio la Gelmini, meglio meno insegnanti ma più di qualità. (Ovviamente ogni riferimento a docenti tra noi è puramente casuale, sia ben inteso).
Però alla fine uno studente universitario ti viene a dire che l'applicazione $f(x)=mx+q$ è sempre lineare e ti dice che l'ha imparato a scuola.... e che cosa facciamo allora? Ci vorrebbe uno sforzo da parte degli insegnanti della scuola, cercare di cambiare approccio e non uniformarsi ai pessimi testi che ancora dicono che $1/x$ è discontinua in $x=0$. In questo fatto appoggio la Gelmini, meglio meno insegnanti ma più di qualità. (Ovviamente ogni riferimento a docenti tra noi è puramente casuale, sia ben inteso).
Concordo
il problema di base è che alcune cose diventano consuetudine.
Basterebbe chiamare le funzioni polinomiali in questione (se dico funzioni lineari ci ricasco) funzioni polinomiali di 1° grado.
Non sono d'accordo al 100% che si possa usare la parola applicazione al posto di funzione e viceversa però diciamo che tende al 100%.
il problema di base è che alcune cose diventano consuetudine.
Basterebbe chiamare le funzioni polinomiali in questione (se dico funzioni lineari ci ricasco) funzioni polinomiali di 1° grado.
Non sono d'accordo al 100% che si possa usare la parola applicazione al posto di funzione e viceversa però diciamo che tende al 100%.
Applicazione e funzione sono sinonimi, non c'è alcuna differenza; basta guardare la definizione insiemistica di funzione. Altrimenti dimmi tu qual è la differenza secondo te.
Vado a memoria, però mi pare che il titolo associato all'argomento della retta nel mio libro di liceo fosse "La funzione lineare"
La mia era una nota polemica.
Ho usato applicazione in modo improprio, ma non mi son mai posto il problema visto che più o meno tutti usano il termine funzione.
Mi chiedevo se effettivamente ci sia stato un momento in cui applicazione e funzione non avevano lo stesso significato. Tutto qua.
Ho usato applicazione in modo improprio, ma non mi son mai posto il problema visto che più o meno tutti usano il termine funzione.
Mi chiedevo se effettivamente ci sia stato un momento in cui applicazione e funzione non avevano lo stesso significato. Tutto qua.
Fermo restando che (grazie anche a Wikipedia) ho capito su cosa verteva il vostro condivisibile dibattito, vi riporto, dal mio libro di Liceo (Zanichelli, casa editrice non sconosciuta) la definizione di funzione lineare:
"Una funzione algebrica si dice lineare quando il polinomio che la compone è di primo grado rispetto alla variabile $x$ ; se il polinomio in $x$ è di secondo grado, la funzione si dice quadratica."
Ora, se a me il libro dice questo (e in classe non consultiamo altri testi) come posso io dubitare di una definizione, che per antonomasia dovrebbe essere la stessa "dovunque"?
Una postilla magari poco rilevante per voi ma che ha colpito me: quando ho fatto presente all'insegnante la falla nella definizione del testo, motivandola e portando a esempio il fatto che la famosa disequazione in questione non rappresenta una retta (come fatto notare da Camillo), sono stato zittito in malo modo e ricondotto al fatto che "se la definizione quella è, quella è" (cito testualmente).
P.S. : Pare anche a me che le definizioni di "funzione" e "applicazione" siano equivalenti (sempre facendo affidamento sul testo, che a questo punto guardo con occhio leggermente critico).
Riassumendo?
"Una funzione algebrica si dice lineare quando il polinomio che la compone è di primo grado rispetto alla variabile $x$ ; se il polinomio in $x$ è di secondo grado, la funzione si dice quadratica."
Ora, se a me il libro dice questo (e in classe non consultiamo altri testi) come posso io dubitare di una definizione, che per antonomasia dovrebbe essere la stessa "dovunque"?
Una postilla magari poco rilevante per voi ma che ha colpito me: quando ho fatto presente all'insegnante la falla nella definizione del testo, motivandola e portando a esempio il fatto che la famosa disequazione in questione non rappresenta una retta (come fatto notare da Camillo), sono stato zittito in malo modo e ricondotto al fatto che "se la definizione quella è, quella è" (cito testualmente).
P.S. : Pare anche a me che le definizioni di "funzione" e "applicazione" siano equivalenti (sempre facendo affidamento sul testo, che a questo punto guardo con occhio leggermente critico).
Riassumendo?
funzione = applicazione
applicazione = funzione
......
funzione lineare dovrebbe essere una funzione che ha la proprietà di essere lineare.
(salto qualche formalismo)
che è quella descritta come $f(a+b)=f(a)+f(b)$ e $alphaf(a) =f(alphaa)$
se come funzione prendo $y=x+3$
$a=5$ $b=7$
$f(a+b)=15$
$f(a)+f(b)=18$
$alpha=2$
$2f(a)=16$
$f(2a)=13$
quindi non è lineare.
Il problema è che in tutti i testi la funzione suddetta viene chiamata funzione lineare.
Si potrebbe chiamare semplicemente "funzione di una retta" o funzione r.... ma non suonerebbe bene
applicazione = funzione
......
funzione lineare dovrebbe essere una funzione che ha la proprietà di essere lineare.
(salto qualche formalismo)
che è quella descritta come $f(a+b)=f(a)+f(b)$ e $alphaf(a) =f(alphaa)$
se come funzione prendo $y=x+3$
$a=5$ $b=7$
$f(a+b)=15$
$f(a)+f(b)=18$
$alpha=2$
$2f(a)=16$
$f(2a)=13$
quindi non è lineare.
Il problema è che in tutti i testi la funzione suddetta viene chiamata funzione lineare.
Si potrebbe chiamare semplicemente "funzione di una retta" o funzione r.... ma non suonerebbe bene
"Luca.Lussardi":
La matematica è una sola, va insegnata correttamente in ogni ordine e grado di istruzione.
In linea di principio mi trovo d'accordo con la posizione di Luca, anch'io quando spiego la discontinuità agli studenti delle superiori devo fare uno sforzo per restare aderente ai libri di testo che dichiarano "discontinua di seconda specie" in $x=0$ la funzione $1/x$ che in $0$ neanche esiste...
È anche vero che ad ingegneria ho affrontato almeno 3 corsi in cui l'elettromagnetismo era un argomento fondamentale (Fisica II, Elettrotecnica e Campi elettromagnetici) e in ciascuno di essi ogni docente utilizzava delle definizioni e delle notazioni diverse da quelle degli altri. Certo, era una cosa fastidiosa ma non pregiudicava l'apprendimento e la comprensione della materia, l'importante era aver chiare fin dall'inizio le definizioni.
Quello che intendo dire è che se ci sono delle piccole differenze tra le definizioni delle superiori e quelle dell'università un po' di flessibilità mentale da parte dello studente dovrebbe essere piú che sufficiente ad ovviare al problema.
Sì, concordo, ma il problema è proprio quello: la flessibilità non c'è. All'esame ti vengono a dire che la funzione $f(x)=2x+1$ è lineare perchè al liceo dicono di sì, come ti vengono a dire che $1/x$ è discontinua in $x=0$. Peggio ancora ti mettono una matrice al denominatore perchè il professore ingegnere dell'altro corso invece di mettere $A^{-1}$ mette $A$ al denominatore... il problema è che lo studente medio e non acuto crede che sia una vera divisione, alla fine usa proprietà inesistenti ed ecco che calano i votacci. Allora chiedo agli insegnanti della scuola: perchè non vi uniformate e fate le cose come sono veramente? perchè seguire il testo come se fosse la bibbia? probabilmente se insegnassi in un liceo non adotterei nessun testo, al massimo se fossi obbligato me lo scriverei io...
Perdonate una domanda: ma $1/x$ non è discontinua di terza specie?
"Luca.Lussardi":
come ti vengono a dire che $1/x$ è discontinua in $x=0$. (omissis). Allora chiedo agli insegnanti della scuola: perchè non vi uniformate e fate le cose come sono veramente? perchè seguire il testo come se fosse la bibbia? probabilmente se insegnassi in un liceo non adotterei nessun testo, al massimo se fossi obbligato me lo scriverei io...
Posto che naturalmente il MIT è una scuola di matematica di infimo livello, e che diffonde appunti con errori per i suoi studenti, e che qui e nel resto del mondo gli insegnanti di matematica di ogni ordine e grado, tranne che perfettissimi casi particolari, sono delle bestie (non feroci, intendo animali "da stalla", che legati a una corda ruminano e ruminano e ruminano, ogni tanto alzano gli occhi al cielo con occhioni senza espressione, non pensano, ruminano e basta), si dia un occhiata qui:
ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/4D85F17F-45B7-4636-8250-2367BE0C0DD8/0/c_cntnt_dscntnt.pdf
Naturalmente anche Wolfram vale poco come supporto, e spara cavolate a destra e a manca, come ad esempio qui
http://demonstrations.wolfram.com/Discontinuity/
Mi chiedo quale sia allora il senso di andare a vedere cosa succede quando siamo "vicini" a punti esclusi dal dominio. Tanto la funzione lì non c'è! Vogliamo chiamare questi benedetti punti di "singolarità"? Così possono non appartenere al dominio ma essere di accumulazione senza pestare i piedi a nessuno! Con il cambio di nome mi è permesso vedere cosa succede nel loro intorno?
Vado a ruminare...
@ WiZaRd
come viene detto nei testi di liceo, 1/x ha una discontinuità di seconda specie, non di terza. in realtà sarebbe discontinua (di seconda specie) se fosse ad esempio così definita:
$f(x)={[1/x," if "x != 0], [1," if "x=0] :}$
i testi delle superiori si occupano solo dei limiti, e quindi dei valori nell'intorno, senza tener conto se la funzione è definita oppure no nel punto.
in realtà parlare di discontinuità come legata a grafico sconnesso coinvolge i punti di non definizione della funzione, cosa che contrasta con la definizione "unitaria" di funzione continua attraverso la topologia.
si chiama erroneamente funzione reale quella che è solo una relazione univoca se consideri R come dominio: in realtà per parlare di funzione devi prima trovare il dominio D che può essere un sottoinsieme proprio di R, quindi ogni elemento di R-D non va considerato ... : certe volte trovando la derivata prima ottieni un'espressione analitica che potrebbe essere ammissibile anche per elementi al di fuori del dominio, ma non li puoi considerare ...
spero di essere stata utile.
@ Luca.Lussardi
io ho avuto la "fortuna" di sentir parlare per la prima volta di funzioni lineari all'università (dato che provengo dal classico tradizionale);
l'adattamento ai libri di testo è quindi avvenuto in senso inverso.
però devo dire che da questo punto vista mi sembra più coerente dire che "non tutte le funzioni lineari sono omomorfismi": non capisco perché deve essere usato a livello universitario il termine "funzione lineare" in senso così ristretto, quando esiste già un termine chiarissimo come quello di omomorfismo, e ingenerare confusione con il termine lineare che diffusamente si associa a grafico lineare, a retta, a primo grado, ed anche a livello prettamente universitario a varietà lineare.
@ tutti.
ciao e grazie per l'attenzione.
come viene detto nei testi di liceo, 1/x ha una discontinuità di seconda specie, non di terza. in realtà sarebbe discontinua (di seconda specie) se fosse ad esempio così definita:
$f(x)={[1/x," if "x != 0], [1," if "x=0] :}$
i testi delle superiori si occupano solo dei limiti, e quindi dei valori nell'intorno, senza tener conto se la funzione è definita oppure no nel punto.
in realtà parlare di discontinuità come legata a grafico sconnesso coinvolge i punti di non definizione della funzione, cosa che contrasta con la definizione "unitaria" di funzione continua attraverso la topologia.
si chiama erroneamente funzione reale quella che è solo una relazione univoca se consideri R come dominio: in realtà per parlare di funzione devi prima trovare il dominio D che può essere un sottoinsieme proprio di R, quindi ogni elemento di R-D non va considerato ... : certe volte trovando la derivata prima ottieni un'espressione analitica che potrebbe essere ammissibile anche per elementi al di fuori del dominio, ma non li puoi considerare ...
spero di essere stata utile.
@ Luca.Lussardi
io ho avuto la "fortuna" di sentir parlare per la prima volta di funzioni lineari all'università (dato che provengo dal classico tradizionale);
l'adattamento ai libri di testo è quindi avvenuto in senso inverso.
però devo dire che da questo punto vista mi sembra più coerente dire che "non tutte le funzioni lineari sono omomorfismi": non capisco perché deve essere usato a livello universitario il termine "funzione lineare" in senso così ristretto, quando esiste già un termine chiarissimo come quello di omomorfismo, e ingenerare confusione con il termine lineare che diffusamente si associa a grafico lineare, a retta, a primo grado, ed anche a livello prettamente universitario a varietà lineare.
@ tutti.
ciao e grazie per l'attenzione.
Il termine omomorfismo appartiene all'algebra più che all'analisi, per altro volendo ci sarebbe da dire molto sul termine stesso visto che si usa anche nelle categorie.
In Analisi ormai applicazione lineare è il termine usato da tutti. Quella che tu chiami poi varietà lineare deve essere chiamata varietà affine; proprio la distinzione tra sottospazio lineare o vettoriale e sottospazio affine sta alla base della costruzione della geometria affine.
Comunque sia la mia non è una polemica contro i nomi in sè, ognuno può chiamare le cose come vuole, posso anche chiamare la funzione di primo grado Linda, come il mio cane... però quello che non va in questi approcci è che lo studente medio non è elastico e alla fine ci rimette lui per "colpe" non completamente sue.
In Analisi ormai applicazione lineare è il termine usato da tutti. Quella che tu chiami poi varietà lineare deve essere chiamata varietà affine; proprio la distinzione tra sottospazio lineare o vettoriale e sottospazio affine sta alla base della costruzione della geometria affine.
Comunque sia la mia non è una polemica contro i nomi in sè, ognuno può chiamare le cose come vuole, posso anche chiamare la funzione di primo grado Linda, come il mio cane... però quello che non va in questi approcci è che lo studente medio non è elastico e alla fine ci rimette lui per "colpe" non completamente sue.
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