Calcolo volumi con integrali!
Mi aiutate ad impostare il seguente esercizio?
Sia S la porzione di piano compresa fra le curve y=x^2 e y=2x^2-4x+2 e l'asse x nel primo quadrante. Calcolare il volume di solido ottenuto dalla rotazione si S intorno all'asse x. Calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione della stessa porzione di piano S intorno all'asse y.
Sia S la porzione di piano compresa fra le curve y=x^2 e y=2x^2-4x+2 e l'asse x nel primo quadrante. Calcolare il volume di solido ottenuto dalla rotazione si S intorno all'asse x. Calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione della stessa porzione di piano S intorno all'asse y.
Risposte
Ciao ParanoidAndroid, mi sono reso conto di aver scritto una sciocchezza anche qua: il problema non è nel fatto che gli integrali che sommi nel primo passaggio hanno estremi diversi, bensì che è diversa la funzione integranda (che comunque nel primo dei due è $x^4$ e non $x^2$ ma mi pare che ti sia già corretta da sola). La proprietà cui fai riferimento presuppone che l'integranda sia la stessa, cioè: [tex]\int_{a}^{b}f(x)\textrm{d}x+\int_{b}^{c}f(x)\textrm{d}x=\int_{a}^{c}f(x)\textrm{d}x[/tex].
Tu hai fatto: [tex]\int_{a}^{b}f(x)\textrm{d}x+\int_{b}^{c}g(x)\textrm{d}x\rightarrow \int_{a}^{c}\left [f(x)+g(x) \right ]\textrm{d}x[/tex], non è la stessa cosa.
Invece nella: $pi$$\int_{0}^{6-4sqrt2}$ $((2+sqrt(2y))/2 -sqrty)^2$ $dy$___ho l'impressione che la funzione integranda debba essere la differenza dei quadrati e non il quadrato della differenza:___$pi$$\int_{0}^{6-4sqrt2}$ $(((2-sqrt(2y))/2)^2 -(sqrty)^2)$ $dy$___(cioè il volume di una
specie di tronco, quello descritto dalla rotazione di $x=(2-sqrt(2y))/2$ nell'intervallo in questione, diminuito del volume della
cavità che ha nella base minore, la cavità "scavata" dalla rotazione di $x=sqrty$), ma vista la densità di stupidaggini che ho scritto ieri sera a questo punto confido in una conferma altrui. Ciao
Tu hai fatto: [tex]\int_{a}^{b}f(x)\textrm{d}x+\int_{b}^{c}g(x)\textrm{d}x\rightarrow \int_{a}^{c}\left [f(x)+g(x) \right ]\textrm{d}x[/tex], non è la stessa cosa.
Invece nella: $pi$$\int_{0}^{6-4sqrt2}$ $((2+sqrt(2y))/2 -sqrty)^2$ $dy$___ho l'impressione che la funzione integranda debba essere la differenza dei quadrati e non il quadrato della differenza:___$pi$$\int_{0}^{6-4sqrt2}$ $(((2-sqrt(2y))/2)^2 -(sqrty)^2)$ $dy$___(cioè il volume di una
specie di tronco, quello descritto dalla rotazione di $x=(2-sqrt(2y))/2$ nell'intervallo in questione, diminuito del volume della
cavità che ha nella base minore, la cavità "scavata" dalla rotazione di $x=sqrty$), ma vista la densità di stupidaggini che ho scritto ieri sera a questo punto confido in una conferma altrui. Ciao
Confermo: la funzione integranda è la differenza dei quadrati perché l'intersezione con un piano perpendicolare all'asse y è una corona circolare.
Sì, ho capito dove sbagliavo... grazie mille 
Un' ultima cosa... come si risolvomo questi due integrali: $pi$ $int_ o^(2-sqrt2)x^4dx$ + $pi$ $int_(2-sqrt2)^1(2x^2-4x+2)^2dx$ e
$pi$ $int_0^(6-4sqrt2)((2-sqrt(2y))/2)^2-(sqrty)^2dy$
Ci sono proprietà che posso aplicare? altrimenti vengono calcoli abnormi, tipo radice di radice...
Nel primo ho dovuto elevare un binomio alla quinta e alla quarta e usare addirittura il triangolo di Tartaglia per il calcolo dei coefficienti binomiali, non c'è un modo per semplificare i calcoli?
$pi$ $int_0^(6-4sqrt2)((2-sqrt(2y))/2)^2-(sqrty)^2dy$
Ci sono proprietà che posso aplicare? altrimenti vengono calcoli abnormi, tipo radice di radice...
Nel primo ho dovuto elevare un binomio alla quinta e alla quarta e usare addirittura il triangolo di Tartaglia per il calcolo dei coefficienti binomiali, non c'è un modo per semplificare i calcoli?
Ciao, spero di essere più lucido di ieri sera nel risponderti.
Nel primo integrale devi calcolare sostanzialmente:
[tex](2-\sqrt{2})^5=[(2-\sqrt{2})^2]^2\cdot (2-\sqrt{2})=(6-4\sqrt{2})^2\cdot (2-\sqrt{2})=(68-48\sqrt{2})\cdot (2-\sqrt{2})[/tex]
e il calcolo è praticamente finito;
nell'ultimo integrale in efffetti salta fuori il radicale doppio [tex]\sqrt{6-4\sqrt{2}}[/tex] ma dovresti ricordare che quel radicando è saltato fuori facendo il quadrato di [tex]2-\sqrt{2}[/tex], quindi anche se non ricordi la formula per trasformare un radicale doppio è:
[tex]\sqrt{6-4\sqrt{2}}=\sqrt{(2-\sqrt{2})^2}=2-\sqrt{2}[/tex].
Nel primo integrale devi calcolare sostanzialmente:
[tex](2-\sqrt{2})^5=[(2-\sqrt{2})^2]^2\cdot (2-\sqrt{2})=(6-4\sqrt{2})^2\cdot (2-\sqrt{2})=(68-48\sqrt{2})\cdot (2-\sqrt{2})[/tex]
e il calcolo è praticamente finito;
nell'ultimo integrale in efffetti salta fuori il radicale doppio [tex]\sqrt{6-4\sqrt{2}}[/tex] ma dovresti ricordare che quel radicando è saltato fuori facendo il quadrato di [tex]2-\sqrt{2}[/tex], quindi anche se non ricordi la formula per trasformare un radicale doppio è:
[tex]\sqrt{6-4\sqrt{2}}=\sqrt{(2-\sqrt{2})^2}=2-\sqrt{2}[/tex].
Eh, ma anche facendo così i calcoli del primo esercizio restano lunghi, nel secondo invece no. Posso sottoporvi un ulteriore quesito? Devo calcolare il punto più vicino della curva $y=sqrtx$ più vicino a $(4,0)$
Io ho fatto così: ho scritto la formula della distanza sostituendo le coordinate all'interno:
d=$sqrt((x-4)^2+y^2)$=$sqrt((y^2-4)^2+y^2)$
Ho fatto i calcoli, poi ho calcolato la derivata prima e ne ho studiato il segno trovando due y che corrispondono ai minimi. Per trovare i punti di minimo ho sostituito nella formula d=$sqrt((y^2-4)^2+y^2)$ trovando un'unica x. Non mi convince molto il ragionamento e soprattutto i calcoli (sono un fiasco nel farli), che ve ne pare?
Io ho fatto così: ho scritto la formula della distanza sostituendo le coordinate all'interno:
d=$sqrt((x-4)^2+y^2)$=$sqrt((y^2-4)^2+y^2)$
Ho fatto i calcoli, poi ho calcolato la derivata prima e ne ho studiato il segno trovando due y che corrispondono ai minimi. Per trovare i punti di minimo ho sostituito nella formula d=$sqrt((y^2-4)^2+y^2)$ trovando un'unica x. Non mi convince molto il ragionamento e soprattutto i calcoli (sono un fiasco nel farli), che ve ne pare?
I calcoli numerici negli integrali definiti sono spesso laboriosi, bisogna rassegnarsi...
Riguardo all'ultimo esercizio, invece di mettere $x=y^2$ nella radice, arrivando ad un radicando di 4° grado in $y$, avrei messo $y=sqrt x$ ottenendo un 2° grado in $x$.
Io proverei comunque un metodo elementare, cioè senza far uso di derivate. Per esempio: prendi il fascio di circonferenze concentriche di raggio $r$ e centro $(4,0)$, ha equazione:__$(x-4)^2+y^2=r^2$__; cerca quella tangente alla curva col metodo dell'analitica (metti a sistema, sostituisci__$y=sqrt x$__nell'equazione del fascio e imponi__$Delta=0$__); il raggio di questa circonferenza è la distanza minima, il punto di tangenza è quello più vicino a $(4,0)$. Credo sia quello di ascissa $x=7/2$, salvo errori di calcolo miei (che come vedi ultimamente mi capitano di frequente).
Mi pare che così i calcoli siano comunque decisamente snelli.
Riguardo all'ultimo esercizio, invece di mettere $x=y^2$ nella radice, arrivando ad un radicando di 4° grado in $y$, avrei messo $y=sqrt x$ ottenendo un 2° grado in $x$.
Io proverei comunque un metodo elementare, cioè senza far uso di derivate. Per esempio: prendi il fascio di circonferenze concentriche di raggio $r$ e centro $(4,0)$, ha equazione:__$(x-4)^2+y^2=r^2$__; cerca quella tangente alla curva col metodo dell'analitica (metti a sistema, sostituisci__$y=sqrt x$__nell'equazione del fascio e imponi__$Delta=0$__); il raggio di questa circonferenza è la distanza minima, il punto di tangenza è quello più vicino a $(4,0)$. Credo sia quello di ascissa $x=7/2$, salvo errori di calcolo miei (che come vedi ultimamente mi capitano di frequente).
Mi pare che così i calcoli siano comunque decisamente snelli.
@ ParanoidAndroid: il consiglio di Pallit di usare x anziché y è ottimo e ti conviene seguirlo. Se invece usi y, ricorda che è non negativo perché uguale ad una radice, quindi scarta la soluzione col meno.
@Pallit: il metodo del fascio di circonferenze mi sembra faticoso; è più veloce derivare. Lo si può evitare dicendo che se \(\displaystyle d \) è minimo anche il suo quadrato lo è; cerco quindi il minimo di $Y=d^2=(x-4)^2+x$ e, trattandosi di una parabola, il minimo è nel vertice.
@Pallit: il metodo del fascio di circonferenze mi sembra faticoso; è più veloce derivare. Lo si può evitare dicendo che se \(\displaystyle d \) è minimo anche il suo quadrato lo è; cerco quindi il minimo di $Y=d^2=(x-4)^2+x$ e, trattandosi di una parabola, il minimo è nel vertice.
@giammaria: hai perfettamente ragione! ciao.
Comunque ho controllato, ci troviamo tutti con lo stesso risultato. Comunque secondo me era meglio sostituire $y^2$ perchè nella derivata si semplificavano diverse cose quindi non c'era nessuna biquadratica da calcolare, se avessi messo $sqrtx$ sarebbe venuta l'ennesima radice di radice...
Posso chiedervi un altro esercizio? (questo forum è troppo bello xD )
Devo studiare la derivabilità di $y=log(|x|+1)$. Io ho fatto la derivata prima distinguendo però i due casi, cioè quando x è maggiore o uguale a 0 $y'=1/(x+1)$, quando x è minore di 0 $y'=1/(x-1)$. Facendo il CE della derivata e studiando il punto di raccordo ho trovato che solo $x=0$ è punto di non derivabilità,in particolare è un punto angoloso. E' giusto?
Posso chiedervi un altro esercizio? (questo forum è troppo bello xD )
Devo studiare la derivabilità di $y=log(|x|+1)$. Io ho fatto la derivata prima distinguendo però i due casi, cioè quando x è maggiore o uguale a 0 $y'=1/(x+1)$, quando x è minore di 0 $y'=1/(x-1)$. Facendo il CE della derivata e studiando il punto di raccordo ho trovato che solo $x=0$ è punto di non derivabilità,in particolare è un punto angoloso. E' giusto?
Sì, l'ultimo esercizio è giusto.
Non mi è chiara la tua prima frase: lasciando $y^2$ c'è una biquadratica, mentre mettendo $sqrt x$ non c'è nessuna radice di radice, in quanto calcoli subito $(sqrt x)^2=x$. Forse non ti sei espressa bene.
Non mi è chiara la tua prima frase: lasciando $y^2$ c'è una biquadratica, mentre mettendo $sqrt x$ non c'è nessuna radice di radice, in quanto calcoli subito $(sqrt x)^2=x$. Forse non ti sei espressa bene.
Ops, è vero, mi ero confusa...
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