Calcolo volumi con integrali!
Mi aiutate ad impostare il seguente esercizio?
Sia S la porzione di piano compresa fra le curve y=x^2 e y=2x^2-4x+2 e l'asse x nel primo quadrante. Calcolare il volume di solido ottenuto dalla rotazione si S intorno all'asse x. Calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione della stessa porzione di piano S intorno all'asse y.
Sia S la porzione di piano compresa fra le curve y=x^2 e y=2x^2-4x+2 e l'asse x nel primo quadrante. Calcolare il volume di solido ottenuto dalla rotazione si S intorno all'asse x. Calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione della stessa porzione di piano S intorno all'asse y.
Risposte
Ti invito a rispettare il regolamento: le formule devono essere scritte col compilatore matematico e devi dimostrare la tua buona volontà mandando un tentativo di soluzione. Si può soprassedere al compilatore perché sei ai primi messaggi (ma ti bastava mettere il segno del dollaro all'inizio e alla fine delle formule) ma uno sforzo è doveroso. Almeno per la rotazione attorno all'asse x non vedo difficoltà: basta prendere la regola ed applicarla.
le regole da applicare:
1) $\pi\int_{D} f^2(x)dx$
2) $2\pi\int_{D} x\cdot f(x)dx$
Ricorda di spezzare in due ogni integrale dato che hai un punto di discontinuità
1) $\pi\int_{D} f^2(x)dx$
2) $2\pi\int_{D} x\cdot f(x)dx$
Ricorda di spezzare in due ogni integrale dato che hai un punto di discontinuità
*non derivabilità
@ luca96: la formula per la rotazione attorno all'asse y mi è nota solo da qualche mese e (ho controllato) non figura in nessuno dei testi in mio possesso. Per curiosità, puoi dirmi dove l'hai trovata? E' un testo universitario o liceale?
Ciao! a me le formule non piacciono: non me le ricordo.
Ragiono così, ditemi se sbaglio.
In relazione alla rotazione intorno all'asse x, mi sembra di vedere una specie di "fuso", fatto di tanti cerchi il cui raggio diminuisce verso gli estremi.
Per la rotazione intorno all'asse y vedo una specie di "scodella", per calcolarne il volume sommerei non dei cerchi ma delle corone circolari. Appena ho un po' di tempo tiro giù i conti, magari li confronto con quelli di Paranoidandroid.
Ragiono così, ditemi se sbaglio.
In relazione alla rotazione intorno all'asse x, mi sembra di vedere una specie di "fuso", fatto di tanti cerchi il cui raggio diminuisce verso gli estremi.
Per la rotazione intorno all'asse y vedo una specie di "scodella", per calcolarne il volume sommerei non dei cerchi ma delle corone circolari. Appena ho un po' di tempo tiro giù i conti, magari li confronto con quelli di Paranoidandroid.
Chiedo scusa per le formule, ma sono praticamente inesperta a riguardo. Per quanto rigurda la rotazione intorno all'asse x, ho applicato la formula standard. Ho calcolato $pi\int_0^(2-sqrt2)\$$x^2$ $dx$+$pi\int_{(2-sqrt2)}^{1}\$ $(2x^2-4x+2)^2$ $dx$=
$pi\int_ 0^1 $ $(x^4)$+$(2x^2-4x+2)^2$ $dx$. O sbaglio?
Questi punti li ho trovati analiticamente studiando le funzioni, $2-sqrt2$ è uno di punti di intersezione tra le due curve, $1$ è il vertice dell'altra parabola...
$pi\int_ 0^1 $ $(x^4)$+$(2x^2-4x+2)^2$ $dx$. O sbaglio?
Questi punti li ho trovati analiticamente studiando le funzioni, $2-sqrt2$ è uno di punti di intersezione tra le due curve, $1$ è il vertice dell'altra parabola...
"giammaria":
la formula per la rotazione attorno all'asse y mi è nota solo da qualche mese
Ciao, anche io l'ho "scoperta" da poco, me l'ha fatta vedere un collega lo scorso anno e neanche lui sapeva da dove uscisse, ma in realtà quella pubblicata da luca96, la 2), mi pare sbagliata, del resto basta provare con il cono generato dalla bisettrice $y=x$ nell'intervallo $[0,1]$ per vedere che qualcosa non va (il cono in questione ha raggio e altezza pari a $1$, quindi volume $1/3 pi r^2 h=pi /3$, mentre usando quella formula si trova: [tex]2\pi \int_{0}^{1}x\cdot x \mathrm{d}x=\frac{2\pi}{3}[/tex]).
La formula che ho visto io è: [tex]\pi \int_{a}^{b}x^2\cdot {f}'(x) \mathrm{d}x[/tex], non l'ho vista in nessun altro contesto ma si riesce a giustificare (si tratta
di vedere il solido come una "somma" di dischi di raggio $x$ e spessore $dy=f'(x)dx$, almeno così l'ho interpretata io). Pare che funzioni...
EDIT: nella formula che ho esposto in questo post la derivata nell'integranda va in modulo, [tex]\pi \int_{a}^{b}x^2\cdot |{f}'(x)| \mathrm{d}x[/tex]. Non ho parole...
Per quanto riguarda la rotazione intorno l'asse y, è per me più complessa da calcolare, comunque ci ho provato, ho calcolato l'ordinata del punto di intersezione $2-sqrt2$, ho esplicitato la x, scrivendo tutto in funzione della y e ho calcolato l'integrale... dovrebbe essere
$pi$$\int_{0}^{6-4sqrt2}$ $((2+sqrt(2y))/2 -sqrty)^2$ $dy$
$pi$$\int_{0}^{6-4sqrt2}$ $((2+sqrt(2y))/2 -sqrty)^2$ $dy$
Ciao ParanoidAndroid, a me il tuo calcolo non convince. Direi che stai usando la [tex]V=\pi\int_{y_1}^{y_2}\left ( f^{-1}(y) \right )^{2}\textrm{d}y[/tex], ma tieni presente
che la linea che ruotando intorno all'asse $y$ genera il solido è costituita dall'arco di parabola $y=x^2 \rightarrow x=sqrt(y)$ per
$0<=y<6-4sqrt(2)$ e dall'arco di un'altra parabola nell'intervallo $6-4sqrt(2)<=y<=2$; quindi tanto per cominciare ti conviene
trovare il volume come somma di due volumi che si calcolano in modi diversi. Le hai disegnate le due parabole?
In secondo luogo, quando cerchi di invertire l'equazione della seconda parabola trovi ovviamente due diverse possibilità,
precisamente $x=1 \pm sqrt(y/2)$, che corrispondono a dividere la curva in due semiparabole, una è la parte a sinistra del vertice e l'altra è quella a destra. Nell'usare la formula per il volume della parte di solido corrispondente devi scegliere delle due $x(y)$ quella che corrisponde alla generatrice. Mi spiego?
che la linea che ruotando intorno all'asse $y$ genera il solido è costituita dall'arco di parabola $y=x^2 \rightarrow x=sqrt(y)$ per
$0<=y<6-4sqrt(2)$ e dall'arco di un'altra parabola nell'intervallo $6-4sqrt(2)<=y<=2$; quindi tanto per cominciare ti conviene
trovare il volume come somma di due volumi che si calcolano in modi diversi. Le hai disegnate le due parabole?
In secondo luogo, quando cerchi di invertire l'equazione della seconda parabola trovi ovviamente due diverse possibilità,
precisamente $x=1 \pm sqrt(y/2)$, che corrispondono a dividere la curva in due semiparabole, una è la parte a sinistra del vertice e l'altra è quella a destra. Nell'usare la formula per il volume della parte di solido corrispondente devi scegliere delle due $x(y)$ quella che corrisponde alla generatrice. Mi spiego?
Ciao Pallit, ti seguo abbastanza anche se senza avere il disegno davanti è un po' difficile.
Ho capito questo, se voglio trovare il volume generato dalla rotazione intorno all'asse y, affettando il mio solido con piani perpendicolari a y, sommando quindi i volumi di altezza dy è necessario esprimere la funzione non $y=f(x)$, ma $x=f(y)$ cioè fare la funzione inversa, è questo il significato della scrittura $f^(-1)(y)$?
Allora ho disegnato il grafico delle due parabole: la prima è una parabola con il vertice coincidente con l'origine e rivolta verso l'alto, la seconda ha il vertice nel punto V(1;0), incontra l'asse y a quota +2 ed è rivolta verso l'alto. Le due parabole si intersecano nel punto $P(+2-sqrt2; +6-4sqrt2)$, la figura piana che ottengo colorando la parte di piano compresa tra queste due parabole è una specie di triangolo la cui base giace sull'asse x ed è compresa tra 0 e +1, mentre i lati obliqui sono gli archi di parabola, corretto?
Siete d'accordo che se ruotiamo intorno all'asse y si ottiene un solido cavo?
Ho capito questo, se voglio trovare il volume generato dalla rotazione intorno all'asse y, affettando il mio solido con piani perpendicolari a y, sommando quindi i volumi di altezza dy è necessario esprimere la funzione non $y=f(x)$, ma $x=f(y)$ cioè fare la funzione inversa, è questo il significato della scrittura $f^(-1)(y)$?
Allora ho disegnato il grafico delle due parabole: la prima è una parabola con il vertice coincidente con l'origine e rivolta verso l'alto, la seconda ha il vertice nel punto V(1;0), incontra l'asse y a quota +2 ed è rivolta verso l'alto. Le due parabole si intersecano nel punto $P(+2-sqrt2; +6-4sqrt2)$, la figura piana che ottengo colorando la parte di piano compresa tra queste due parabole è una specie di triangolo la cui base giace sull'asse x ed è compresa tra 0 e +1, mentre i lati obliqui sono gli archi di parabola, corretto?
Siete d'accordo che se ruotiamo intorno all'asse y si ottiene un solido cavo?
Ciao gio73, diamine hai ragione, mi sono perso il fatto che la regione è delimitata dall'asse $x$ e non da quello delle ordinate, il solido che mi sono immaginato è tutto un altro.. chiedo scusa, hai ragione tu e il mio ultimo post (precedente all'attuale) è del tutto fuori contesto.
Ho disegnato le parabole ovviamente, ma a me sembrava che la porzione di piano(cioè quella compresa fra le due curve e l'asse x) fosse semplicemente la differenza delle aree sottese dalle due curve rispetto all'asse y nell'intervallo compreso tra 0 e $6-4sqrt2$. Ora che ci penso avrei dovuto usare $1-sqrt(y/2)$... Dato che sono negata con il calcolo dei volumi sfortunatamente, potresti controllare anche l'esercizio che mi richiedeva la rotazione introno all'asse x?
"ParanoidAndroid":
Per quanto rigurda la rotazione intorno all'asse x, ho applicato la formula standard. Ho calcolato $pi\int_0^(2-sqrt2)\$$x^2$ $dx$+$pi\int_{(2-sqrt2)}^{1}\$ $(2x^2-4x+2)^2$ $dx$=
$pi\int_ 0^1 $ $(x^4)$+$(2x^2-4x+2)^2$ $dx$. O sbaglio?
Questi punti li ho trovati analiticamente studiando le funzioni, $2-sqrt2$ è uno di punti di intersezione tra le due curve, $1$ è il vertice dell'altra parabola...
Ciao Pallit, io faccio sempre molto casino quando mi affido ai calcoli allora ho preso l'abitudine di farmi sempre i disegni per capire un po' meglio, poi magari il nostro problema lo riusciamo a risolvere senza fare tanti conti, no?
Come diceva Luca è conveniente calcolare il volume spezzando i due solidi.
Uno è una scodella il cui volume lo potrei trovare come differenza tra il cilindro che ha per raggio di base $+2-sqrt2$ e per altezza $+6-4sqrt2$ e il volume del paraboloide che troviamo integrando appunto la funzione $sqrty$ tra $0$ e $6-4sqrt2$.
Per l'altro ho pensato questo: la seconda parabola di equazione $y=2x^2-4x+2$ potrei vederla così $y=2(x^2-2x+1)$ da cui $y=2(x-1)^2$
allora mi sembra che si tratti di una traslazione in orizzontale di una unità verso destra della parabola $y=2x^2$, sei d'accordo?
Non so ancora come usare questa osservazione, nè se poi serva.
Come diceva Luca è conveniente calcolare il volume spezzando i due solidi.
Uno è una scodella il cui volume lo potrei trovare come differenza tra il cilindro che ha per raggio di base $+2-sqrt2$ e per altezza $+6-4sqrt2$ e il volume del paraboloide che troviamo integrando appunto la funzione $sqrty$ tra $0$ e $6-4sqrt2$.
Per l'altro ho pensato questo: la seconda parabola di equazione $y=2x^2-4x+2$ potrei vederla così $y=2(x^2-2x+1)$ da cui $y=2(x-1)^2$
allora mi sembra che si tratti di una traslazione in orizzontale di una unità verso destra della parabola $y=2x^2$, sei d'accordo?
Non so ancora come usare questa osservazione, nè se poi serva.
Non l' ho trovata da nessuna parte, con gli integrali doppi si ricava subito. Per quello che ti serve basta che te la ricordi
"ParanoidAndroid":fin qua è giusto,
Ho calcolato $pi\int_0^(2-sqrt2)\$$x^2$ $dx$+$pi\int_{(2-sqrt2)}^{1}\$ $(2x^2-4x+2)^2$ $dx$=
"ParanoidAndroid":
=$pi\int_ 0^1 $ $(x^4)$+$(2x^2-4x+2)^2$ $dx$. O sbaglio?
qua sbagli, il primo passaggio è una somma di integrali con estremi diversi, non può essere uguale a quello che scrivi dopo..
@ Pallit: il volume del cono non ti viene perché la formula di luca96 dà il volume generato dalla parte sottostante alla curva, mentre il tuo cono sta sopra. La formula generale che conosco io è che il volume del solido generato dalla rotazione attorno all'asse y dalla superficie delimitata da $x=a$, $x=b$, $y=f(x)$, $y=g(x)$, con $0<=a=g(x)$ è data da
$V=2 pi int_a^b x[f(x)-g(x)]dx$
e si dimostra sezionando il solido con superfici cilindriche aventi per asse l'asse y. Il solido compreso fra le superfici di raggi $x$ e $x+dx$ ha come superficie di base $2 pi x dx$ e come altezza $f(x)-g(x)$; ne deduci il volume $dV$ e integri.
$V=2 pi int_a^b x[f(x)-g(x)]dx$
e si dimostra sezionando il solido con superfici cilindriche aventi per asse l'asse y. Il solido compreso fra le superfici di raggi $x$ e $x+dx$ ha come superficie di base $2 pi x dx$ e come altezza $f(x)-g(x)$; ne deduci il volume $dV$ e integri.
Momento. Io ho inteso l'area compresa tra l'asse x e la curva che viene ruotata attorno all' asse y
@giammaria: e hai ragione, io pensavo (lo confesso, erroneamente, come ho precisato un paio di post fa) alla rotazione della regione compresa tra i due archi di parabole e un segmento di asse delle ordinate... l'età (la mia) comincia a dare i suoi segni devastanti 
@luca96: hai ragione anche tu, sono io che ho fatto casino...
@luca96: hai ragione anche tu, sono io che ho fatto casino...
"gio73":
la funzione inversa, è questo il significato della scrittura $f^(-1)(y)$?
Sì, certamente, gio73 !
E scusate ancora per il mio fraintendimento.
"Palliit":fin qua è giusto,
[quote="ParanoidAndroid"]Ho calcolato $pi\int_0^(2-sqrt2)\$$x^4$ $dx$+$pi\int_{(2-sqrt2)}^{1}\$ $(2x^2-4x+2)^2$ $dx$=
"ParanoidAndroid":
=$pi\int_ 0^1 $ $(x^4)$+$(2x^2-4x+2)^2$ $dx$. O sbaglio?
qua sbagli, il primo passaggio è una somma di integrali con estremi diversi, non può essere uguale a quello che scrivi dopo..[/quote]
Ho applicato una proprieta degli integrali!
Sì, comunque è la parte compresa fra curve ed asse x a ruotare intorno all'asse y, e se fate il disegno, secondo me, dal mio punto di vista, basta applicare la formula standard alla differenza delle funzioni inverse...
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