Calcolo volume solido di rotazione con asintoto obliquo
Carissimi buongiorno. Sono alle prese con il seguente esercizio (pag. 625 n. 353 del "Matematica C.V.D. Ed. Blu"):
Traccia la curva di equazione \(\displaystyle y=\sqrt{\frac{x^{3}}{x+1}} \) e determina il volume del solido generato dalla rotazione completa intorno all'asse \(\displaystyle x \) della regione di piano delimitata dall'asse \(\displaystyle x \), dalla curva e dal suo asintoto obliquo, nell'intervallo \(\displaystyle [0;1] \).
Dunque, ho calcolato la retta associata all'asintoto obliquo pari a \(\displaystyle y=x-1/2 \) e, facendo qualche calcolo di massima (dominio, asintoto verticale, segno, derivata prima), ho tracciato l'andamento della funzione almeno per la parte che mi interessa, cioé per \(\displaystyle x>0 \):
Ora, è corretto calcolare il volume come segue?
\(\displaystyle V=\pi \int_{0}^{\frac{1}{2}}\left [\sqrt{\frac{x^{3}}{x+1}} \right ]^{2} dx+\pi \int_{\frac{1}{2}}^{1}\left [\sqrt{\frac{x^{3}}{x+1}}-\left ( x-\frac{1}{2} \right ) \right ]^{2} dx \)
Il risultato del libro è:
\(\displaystyle V=\pi \left ( \frac{19}{24}-\ln2 \right ) \)
A me viene \(\displaystyle V=\pi \left ( \frac{5}{6}-\ln2 \right ) \), che è però il risultato, errato, del calcolo \(\displaystyle V=\pi \int_{0}^{1}\left [\sqrt{\frac{x^{3}}{x+1}} \right ]^{2} dx \), in cui non avevo considerato il fatto che da 1/2 a 1 c'è l'asintoto obliquo.
Ammetto di aver fatto qualche esperimento con Wolfree e Geogebra, ma facendo la somma dei due integrali proposta sopra, il risultato continua a non coincidere con quello del libro:
Il volume è pari a circa 0,096.
Il volume è pari circa a 0,274.
La somma però è diversa da 0,3095 che è quella ottenuta sviluppando il risultato del libro.
Qualcuno potrebbe darmi qualche dritta?
Grazie
Traccia la curva di equazione \(\displaystyle y=\sqrt{\frac{x^{3}}{x+1}} \) e determina il volume del solido generato dalla rotazione completa intorno all'asse \(\displaystyle x \) della regione di piano delimitata dall'asse \(\displaystyle x \), dalla curva e dal suo asintoto obliquo, nell'intervallo \(\displaystyle [0;1] \).
Dunque, ho calcolato la retta associata all'asintoto obliquo pari a \(\displaystyle y=x-1/2 \) e, facendo qualche calcolo di massima (dominio, asintoto verticale, segno, derivata prima), ho tracciato l'andamento della funzione almeno per la parte che mi interessa, cioé per \(\displaystyle x>0 \):
Ora, è corretto calcolare il volume come segue?
\(\displaystyle V=\pi \int_{0}^{\frac{1}{2}}\left [\sqrt{\frac{x^{3}}{x+1}} \right ]^{2} dx+\pi \int_{\frac{1}{2}}^{1}\left [\sqrt{\frac{x^{3}}{x+1}}-\left ( x-\frac{1}{2} \right ) \right ]^{2} dx \)
Il risultato del libro è:
\(\displaystyle V=\pi \left ( \frac{19}{24}-\ln2 \right ) \)
A me viene \(\displaystyle V=\pi \left ( \frac{5}{6}-\ln2 \right ) \), che è però il risultato, errato, del calcolo \(\displaystyle V=\pi \int_{0}^{1}\left [\sqrt{\frac{x^{3}}{x+1}} \right ]^{2} dx \), in cui non avevo considerato il fatto che da 1/2 a 1 c'è l'asintoto obliquo.
Ammetto di aver fatto qualche esperimento con Wolfree e Geogebra, ma facendo la somma dei due integrali proposta sopra, il risultato continua a non coincidere con quello del libro:
rotate the region between Sqrt[Divide[Power[x,3],x+1]]and x=0 with 0<x<Divide[1,2] around the x-axis
Il volume è pari a circa 0,096.
rotate the region between Sqrt[Divide[Power[x,3],x+1]]and (x-Divide[1,2]) with Divide[1,2]<x<1 around the x-axis
Il volume è pari circa a 0,274.
La somma però è diversa da 0,3095 che è quella ottenuta sviluppando il risultato del libro.
Qualcuno potrebbe darmi qualche dritta?
Grazie
Risposte
"jordan20":
\(\displaystyle V=\pi \int_{0}^{\frac{1}{2}}\left [\sqrt{\frac{x^{3}}{x+1}} \right ]^{2} dx+\pi \int_{\frac{1}{2}}^{1}\left [\sqrt{\frac{x^{3}}{x+1}}-\left ( x-\frac{1}{2} \right ) \right ]^{2} dx \)
Mi sembrerebbe più semplice calcolare l'integrale del primo termine fra 0 e 1 e poi sottrarre il volume del cono formato dall'asintoto con vertice 1/2, che, se non sbaglio, vale $1/3 *1/2 *pi* (1/2)^2 = pi/24$
Perfetto, adesso è corretto 
Grazie, gentilissimo
Grazie, gentilissimo
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