Calcolo superficie intorno all'asse y
ho un problema che è il seguente:
Calcola l'area della superficie generato dalla parabola $x^2$ $|$ $0 <= x <= 2$ che ruota attorno all'asse $y$
la prima cosa che mi è venuta in mente è stata quella di scrivere $y=x^2$ come
$x=+sqrt(y)$
ma poi ottengo un integrale del tipo
$2pi int_(0)^(4) sqrt(y)sqrt(1+(1/(2sqrt(y)))^2) dy$
che francamente non saprei come risolvere...
quindi la mia domanda è:
non c'è un modo per risolvere questo problema senza dover scrivere la funzione in funzione di $y$ ?
un po come per i volumi generati da una curva che ruota intorno all'asse $y$ ... dove si ottiene una specie di mini acquario di lunghezza $x2pi$ e di altezza $f(x)$ e dove la profondita' e' data da $dx$
ma in questo caso devo trovare una superficie... quindi mi chiedevo se ce una maniera per risolverlo senza quella che ho indicato perche mi genera un integrale non troppo simpatico...
grazie
Calcola l'area della superficie generato dalla parabola $x^2$ $|$ $0 <= x <= 2$ che ruota attorno all'asse $y$
la prima cosa che mi è venuta in mente è stata quella di scrivere $y=x^2$ come
$x=+sqrt(y)$
ma poi ottengo un integrale del tipo
$2pi int_(0)^(4) sqrt(y)sqrt(1+(1/(2sqrt(y)))^2) dy$
che francamente non saprei come risolvere...
quindi la mia domanda è:
non c'è un modo per risolvere questo problema senza dover scrivere la funzione in funzione di $y$ ?
un po come per i volumi generati da una curva che ruota intorno all'asse $y$ ... dove si ottiene una specie di mini acquario di lunghezza $x2pi$ e di altezza $f(x)$ e dove la profondita' e' data da $dx$
ma in questo caso devo trovare una superficie... quindi mi chiedevo se ce una maniera per risolverlo senza quella che ho indicato perche mi genera un integrale non troppo simpatico...
grazie
Risposte
Spesso il calcolo delle superfici di rotazione dà origine ad integrali complicati; se c'è un metodo del tipo che desideri, mi farebbe piacere apprenderlo.
Nel tuo caso mi pare però che tu abbia sbagliato i calcoli; i miei sono:
$x'=1/(2sqrty)$ e quindi
$S=2piint_0^4sqrty*sqrt(1+1/(4y))dy=2pi int_0^4sqrt(y+1/4)dy$
di facile completamento.
Nel tuo caso mi pare però che tu abbia sbagliato i calcoli; i miei sono:
$x'=1/(2sqrty)$ e quindi
$S=2piint_0^4sqrty*sqrt(1+1/(4y))dy=2pi int_0^4sqrt(y+1/4)dy$
di facile completamento.
grazie giammaira avevo dimenticato la radice durante la copiatura 
ma su il mio foglio e' tutto corretto...
ma su il mio foglio e' tutto corretto...
ciao giammaria stavo riguardando questo topic,
in effetti un metodo l'ho trovato ma non so se sia corretto...
in pratica non scrivo la funzione in funzione di $y$ ma la lascio cosi' com'è.
se faccio girare la parabola sull asse $y$ e mi fisso 2 punti vedi anche tu che genero un tronco di cono in piedi? cioe non e' sdraiato è in piedi cioe il suo cerchio piu piccolo e' sdraiato e parallelo a quello piu grande.
quindi potrei trovare la superficie in questo modo:
$2pi int xsqrt(1+(f'(x))^2 $
in effetti un metodo l'ho trovato ma non so se sia corretto...
in pratica non scrivo la funzione in funzione di $y$ ma la lascio cosi' com'è.
se faccio girare la parabola sull asse $y$ e mi fisso 2 punti vedi anche tu che genero un tronco di cono in piedi? cioe non e' sdraiato è in piedi cioe il suo cerchio piu piccolo e' sdraiato e parallelo a quello piu grande.
quindi potrei trovare la superficie in questo modo:
$2pi int xsqrt(1+(f'(x))^2 $
EDIT: giogiomogio (che ringrazio) mi ha fatto notare che questo post è sbagliato e la formula giusta è la sua. Il calcolo con l'integrale richiede la modifica che ho indicato nel mio post successivo.
La $x$ fuori radice derivava dal fatto che quello era il raggio del tronco di cono; nel tuo caso però il raggio è $f(x)$ e quindi il tuo ragionamento conduce a
$S=2pi intf(x)sqrt(1+f'(x)^2)dx$
Questa formula è giusta e la puoi ottenere anche così:
La formula normale, ad assi scambiati, è $S=2pi int ysqrt(1+(x')^2)dy$
Ricordando che $x'=1/(y')$ e $dy=y'dx$ abbiamo
$S=2pi int ysqrt(1+1/(y')^2)*y'dx=2pi intysqrt((y')^2+1)/(y')*y'dx$
che, semplificata, è la formula che ho scritto inizialmente.
La $x$ fuori radice derivava dal fatto che quello era il raggio del tronco di cono; nel tuo caso però il raggio è $f(x)$ e quindi il tuo ragionamento conduce a
$S=2pi intf(x)sqrt(1+f'(x)^2)dx$
Questa formula è giusta e la puoi ottenere anche così:
La formula normale, ad assi scambiati, è $S=2pi int ysqrt(1+(x')^2)dy$
Ricordando che $x'=1/(y')$ e $dy=y'dx$ abbiamo
$S=2pi int ysqrt(1+1/(y')^2)*y'dx=2pi intysqrt((y')^2+1)/(y')*y'dx$
che, semplificata, è la formula che ho scritto inizialmente.
"giammaria":
La $x$ fuori radice derivava dal fatto che quello era il raggio del tronco di cono; nel tuo caso però il raggio è $f(x)$ e quindi il tuo ragionamento conduce a
$S=2pi intf(x)sqrt(1+f'(x)^2)dx$
come mai è $f(x)$ e non $x$ ?
se osservi l'immagine a me pare che
$r=x$
$R=x+dx=x$
$a=sqrt(1+(f'(x))^2$
la parabola ruota intorno l'asse $y$ non $x$
ho fatto anche il calcolo con la calcolatrice sia con l'integrale di prima quello del primo post, sia con l'ultimo e i risultati escono esatti. mi puoi dare conferma? grazie
Hai tutte le ragioni. Il mio errore è che nel ricordare la formula ho fatto uno scambio di lettere; la frase che ho scritto prima va corretta in
"La formula normale, ad assi scambiati, è $S=2pi intxsqrt(1+(x')^2)dy$"
Vado ad aggiungere un avviso di errore al mio post precedente.
"La formula normale, ad assi scambiati, è $S=2pi intxsqrt(1+(x')^2)dy$"
Vado ad aggiungere un avviso di errore al mio post precedente.
perfetto grazie mille,
comunque grazie alla tua spiegazioni sugli infinitesimi adesso riesco a palleggiare abbastanza bene queste cosine.
grazie mille
comunque grazie alla tua spiegazioni sugli infinitesimi adesso riesco a palleggiare abbastanza bene queste cosine.
grazie mille
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