Calcolo probabilità
Salve a tutti, premetto che la matematica non è il mio campo...
vorrei porre un quesito.
Se ho il 22% che un evento accadi ogni volta che compio un azione.
quante probabilità ho se compio due volte la stessa azione?
la probabilità sale rispetto al fatto che io compia una sola volta quella determinata azione...o resta sempre del 22%?
vedo di fare un esempio più chiaro ...in un sacco ho 100 mele...22 verdi e 78 rosse...quindi ho il 22% di probabilità di prendere una mela verde...
se io facessi due tentativi ( reinserendo sempre la mela presa) la % di trovare una mela verde salirebbe o sarebbe la stessa?
quello che mi fa venire il dubbio è che cmq le probabilità di prendere una mela verde resta costante...però ho più chance che quel 22% di realizzi.
grazie di tutto...perdonatemi per la mia ignoranza...e scusatemi se non sono forse nella sezione giusta.
vorrei porre un quesito.
Se ho il 22% che un evento accadi ogni volta che compio un azione.
quante probabilità ho se compio due volte la stessa azione?
la probabilità sale rispetto al fatto che io compia una sola volta quella determinata azione...o resta sempre del 22%?
vedo di fare un esempio più chiaro ...in un sacco ho 100 mele...22 verdi e 78 rosse...quindi ho il 22% di probabilità di prendere una mela verde...
se io facessi due tentativi ( reinserendo sempre la mela presa) la % di trovare una mela verde salirebbe o sarebbe la stessa?
quello che mi fa venire il dubbio è che cmq le probabilità di prendere una mela verde resta costante...però ho più chance che quel 22% di realizzi.
grazie di tutto...perdonatemi per la mia ignoranza...e scusatemi se non sono forse nella sezione giusta.
Risposte
Sperando di aver capito bene e di darti la risposta giusta 
, io farei così …
Il tuo scopo è quello di estrarre dal sacco una mela verde o al primo o al secondo tentativo, il che equivale al complementare di estrarre due mele rosse consecutivamente; questo è più facile da calcolare (per me )
Infatti le probabilità in questi caso si moltiplicano ovvero la probabilità di estrarre due mele rosse è $0,78*0,78~=0.61$ quindi il suo complementare a $1$ cioè la probabilità di estrarre una [strike]rossa[/strike] verde al primo o al secondo tentativo è $39%$
Cordialmente, Alex
, io farei così …Il tuo scopo è quello di estrarre dal sacco una mela verde o al primo o al secondo tentativo, il che equivale al complementare di estrarre due mele rosse consecutivamente; questo è più facile da calcolare (per me
)Infatti le probabilità in questi caso si moltiplicano ovvero la probabilità di estrarre due mele rosse è $0,78*0,78~=0.61$ quindi il suo complementare a $1$ cioè la probabilità di estrarre una [strike]rossa[/strike] verde al primo o al secondo tentativo è $39%$
Cordialmente, Alex
intanto grazie per la risposta...c'è qualcosa che non riesco a comprendere e non è colpa tua ma della mia poca conoscenza della matematica.
Intanto intendevi dire che il 39% è la probabilità di estrarre una mela verde ( e non rossa) giusto o ho capito male io?
L'altra cosa che non mi capacito è come mai tale valore sia così alto ( perdonami è solo curiosità) cioè , per logica e no per vie matematiche, ad ogni pesca che faccio...dovrei comunque avere le stesse probabilità di prendere una mela verde...al contempo è anche vero che più sono il numero di tentativi fatti più è facile che prima o poi becchi il risultato ottenuto...però ( sempre per vie logiche e non matematiche mi aspetto che il risultato probabilistico non sia così alto ( quasi il doppio).
faccio un esempio ...una slot machine...con l' 1% di possibilità di fare jackpot...non è che se uso 100 monetine avrò una possibilità superiore all'1% per tiro di fare jackpot o meglio non è che arriverò mai al 60% (ad esempio) di fare jakpot...ma sicuramente ho più chance di un'altra persona che gioca una sola moneta...
se puoi, potresti dirmi che formula applichi ...ti ringrazio e chiedo scusa per il tempo perso.
Intanto intendevi dire che il 39% è la probabilità di estrarre una mela verde ( e non rossa) giusto o ho capito male io?
L'altra cosa che non mi capacito è come mai tale valore sia così alto ( perdonami è solo curiosità) cioè , per logica e no per vie matematiche, ad ogni pesca che faccio...dovrei comunque avere le stesse probabilità di prendere una mela verde...al contempo è anche vero che più sono il numero di tentativi fatti più è facile che prima o poi becchi il risultato ottenuto...però ( sempre per vie logiche e non matematiche mi aspetto che il risultato probabilistico non sia così alto ( quasi il doppio).
faccio un esempio ...una slot machine...con l' 1% di possibilità di fare jackpot...non è che se uso 100 monetine avrò una possibilità superiore all'1% per tiro di fare jackpot o meglio non è che arriverò mai al 60% (ad esempio) di fare jakpot...ma sicuramente ho più chance di un'altra persona che gioca una sola moneta...
se puoi, potresti dirmi che formula applichi ...ti ringrazio e chiedo scusa per il tempo perso.
Aluchard, fai tabula rasa di quello che pensi...se una probabilità è costante non ha memoria, resta sempre la stessa...perchè è appunto costante.
Magari un'osservazione aiuta. Se davvero la probabilità di pescare una mela verda aumentasse, allora arrivo io e ti dico che è vero anche per la mela rossa.
Già qua dovresti comprendere il paradosso, no?
Puoi giocare alla slot 100 volte. Se la prob di fare jackpot è del 1% allora puoi "solo" attenderti di farlo in media una volta. Questo non ti dice che se giochi 100 volte allora certamente farai jackpot...anzi.
Potresti farlo anche 100 volte su 100 con prob. $0.01^100$ (ovvero una volta ogni 1 seguito da 200 zeri) e non verresti pagato perchè se accadesse un evento sostanzialmente impossibile ti condannerebbero per truffa persino se tu fossi onesto..e con ottime argomentazioni in tribunale. La probabilità ti dice solo cosa devi attenderti in media nel lungo periodo, non nel singolo evento. Quello sarà sempre aleatorio e sempre con la medesima probabilità (che non cresce ne diminuisce).
Di nuovo, se così fosse, allora aumenterebbero anche le probabilità di NON fare jackpot, con conseguente paradosso.
Il concetto di probabilità è obiettivamente difficile da afferrare finchè non la si accetta. In qualche modo vorremmo che facesse puff e che alla fine potessimo ricondurre tutto ad un evento certo. Immagino sia questa la tua sensazione.
Fai tabula rasa.
Magari un'osservazione aiuta. Se davvero la probabilità di pescare una mela verda aumentasse, allora arrivo io e ti dico che è vero anche per la mela rossa.
Già qua dovresti comprendere il paradosso, no?
Puoi giocare alla slot 100 volte. Se la prob di fare jackpot è del 1% allora puoi "solo" attenderti di farlo in media una volta. Questo non ti dice che se giochi 100 volte allora certamente farai jackpot...anzi.
Potresti farlo anche 100 volte su 100 con prob. $0.01^100$ (ovvero una volta ogni 1 seguito da 200 zeri) e non verresti pagato perchè se accadesse un evento sostanzialmente impossibile ti condannerebbero per truffa persino se tu fossi onesto..e con ottime argomentazioni in tribunale. La probabilità ti dice solo cosa devi attenderti in media nel lungo periodo, non nel singolo evento. Quello sarà sempre aleatorio e sempre con la medesima probabilità (che non cresce ne diminuisce).
Di nuovo, se così fosse, allora aumenterebbero anche le probabilità di NON fare jackpot, con conseguente paradosso.
Il concetto di probabilità è obiettivamente difficile da afferrare finchè non la si accetta. In qualche modo vorremmo che facesse puff e che alla fine potessimo ricondurre tutto ad un evento certo. Immagino sia questa la tua sensazione.
Fai tabula rasa.
Ok, Bokonon, la probabilità di pescare una mela verde nella singola estrazione è sempre del $22%$ (che sia la prima o la seconda o la centesima), però qui la questione è diversa (sempre a mia interpretazione) ovvero: qual è la probabilità che io estragga una mela verde facendo due estrazioni con reimmissione? Così posta la questione è equivalente a studiare il caso in cui io estragga due mele rosse (sia alla prima che alla seconda estrazione) e prendere la probabilità complementare.
@alucard1981
Pensa al lancio di una moneta due volte di fila: la probabilità che ti esca testa al primo lancio è di $1/2$ ed è la stessa probabilità che ti esca testa al secondo lancio ma la probabilità che ti esca testa o al primo lancio o al secondo o in tutti e due è diversa ed è pari a $3/4$ ovvero il complementare dell'evento che escano due croci di fila. OK?
Cordialmente, Alex
@alucard1981
Pensa al lancio di una moneta due volte di fila: la probabilità che ti esca testa al primo lancio è di $1/2$ ed è la stessa probabilità che ti esca testa al secondo lancio ma la probabilità che ti esca testa o al primo lancio o al secondo o in tutti e due è diversa ed è pari a $3/4$ ovvero il complementare dell'evento che escano due croci di fila. OK?
Cordialmente, Alex
"alucard1981":
...non è che se uso 100 monetine avrò una possibilità superiore all'1% per tiro di fare jackpot o meglio non è che arriverò mai al 60% (ad esempio) di fare jakpot...
In effetti non è del $60%$ ma del $63%$
intanto chiedo scusa per la mia "tardagine" ma vorrei cercare bene di capire quello che mi avete detto magari spiegando quello che penso io prima.
io pensavo che a prescindere da quanti tiri fai/lanci di moneta/pescare una mela le probabilità che l'evento atteso si verifichi sia sempre lo stesso...poi il dubbio ovviamente che mi viene e che se io pescassi dal cesto di mele 100 volte sicuramente la probabilità che l evento atteso si verifichi dovrebbe essere leggermente maggiore rispetto a uno che fa un solo tentativo...però è altresì vero che la formula 1-(1-probabilità che l'evento si verifichi)^numero dei tentativi ( che mi pare di avere estrapolato dai discorsi fino ad adesso fatti) si dovrebbe applicare anche per la probabilità che l evento nn si verifichi...mi spiego meglio...se ho il 22% di prendere una mela verde e applico quella formula otterrei che al secondo tentativo avrei il 39% di beccare una mela verde...MA è anche vero che se così fosse, dovrei applicare la stessa regola per beccare la mela rossa il che dovrebbe fare salire le mie probabilità al 95%...il che confonderebbe completamente tutto
@bokonon non ho ben capito il punto... non ho capito se tu come @axpgn pensi che la prob. cresca o meno...mi pare di aver capito di no...volevo una conferma.
@axpgn puoi chiarirmi i dubbi sopra citati perchè è strano che al secondo tentativo secondo il tuo ragionamento che io abbia il 39% di riuscire a prendere la mela verde e il 95% di prendere quella rossa...
scusate la mia insistenza...e la mia ignoranza
io pensavo che a prescindere da quanti tiri fai/lanci di moneta/pescare una mela le probabilità che l'evento atteso si verifichi sia sempre lo stesso...poi il dubbio ovviamente che mi viene e che se io pescassi dal cesto di mele 100 volte sicuramente la probabilità che l evento atteso si verifichi dovrebbe essere leggermente maggiore rispetto a uno che fa un solo tentativo...però è altresì vero che la formula 1-(1-probabilità che l'evento si verifichi)^numero dei tentativi ( che mi pare di avere estrapolato dai discorsi fino ad adesso fatti) si dovrebbe applicare anche per la probabilità che l evento nn si verifichi...mi spiego meglio...se ho il 22% di prendere una mela verde e applico quella formula otterrei che al secondo tentativo avrei il 39% di beccare una mela verde...MA è anche vero che se così fosse, dovrei applicare la stessa regola per beccare la mela rossa il che dovrebbe fare salire le mie probabilità al 95%...il che confonderebbe completamente tutto
@bokonon non ho ben capito il punto... non ho capito se tu come @axpgn pensi che la prob. cresca o meno...mi pare di aver capito di no...volevo una conferma.
@axpgn puoi chiarirmi i dubbi sopra citati perchè è strano che al secondo tentativo secondo il tuo ragionamento che io abbia il 39% di riuscire a prendere la mela verde e il 95% di prendere quella rossa...
scusate la mia insistenza...e la mia ignoranza
Il vero problema non è la tua “ignoranza” (che poi non è solo tua… È la condizione dell’essere umano), ma il fatto che non hai chiarito bene di quale evento cerchi di calcolare la probabilità.
Visto che c’è reimmissione, la probabilità di ogni evento:
\[
V_n := \{ \text{estraggo una mela verde alla $n$-esima estrazione}\}
\]
è sempre pari a $mathbb(P)(V_n) = (text(n. casi favorevoli))/(text(n. casi totali)) = 22/(100) =22 %$, così come è sempre uguale a $78% = 100% - 22% = 1 - 22/(100)$ la probabilità dell’evento complementare:
\[
R_n := \{ \text{estraggo una mela rossa alla $n$-esima estrazione}\} = \overline{V_n}\; .
\]
Chi ti ha risposto ha considerato altri eventi, cioè (nel caso di axpgn):
\[
E = \{ \text{estraggo almeno una mela verde in due lanci}\} \; ,
\]
il quale equivale all’evento unione dei due eventi elementari:
\[
\begin{split}
V_1 &= \{ \text{estraggo una mela verde alla prima estrazione}\} \\
R_1\cap V_2 &= \{ \text{estraggo una mela rossa alla prima estrazione ed una verde nella seconda}\}
\end{split}
\]
che sono disgiunti (perché alla prima estrazione accadono fatti incompatibili); dunque:[nota]axpgn ha usato, per il calcolo di $mathbb(P)(E)$ un trucco: infatti, l’evento $E$ ha come complementare l’evento $F=\{text(estraggo due mele rosse in due estrazioni consecutive)\}$ e perciò $mathbb(P)(E) = 1 - mathbb(P) (F)$; d’altra parte $F$ è intersezione dei due eventi $R_1$ ed $R_2$, i quali sono indipendenti (perché c’è reimmissione), dunque $mathbb(P)(F) = mathbb(P)(R_1 nn R_2) = mathbb(P)(R_1) * mathbb(P) (R_2) = 0.78^2 = 0.608 = 60.8 %$ e da ciò di nuovo $mathbb(P)(E) = 1 - 0.608 = 0.392 = 39.2%$.[/nota]
\[
\begin{split}
\mathbb{P} (E) &= \mathbb{P} (V_1) + \mathbb{P} (R_1 \cap V_2) \\
&= \mathbb{P} (V_1) + \mathbb{P} (R_1)\cdot \mathbb{P} (V_2) \\
&= 0.22 + 0.78\cdot 0.22 \\
&= 0.392 = 39.2 \% \; .
\end{split}
\]
Visto che c’è reimmissione, la probabilità di ogni evento:
\[
V_n := \{ \text{estraggo una mela verde alla $n$-esima estrazione}\}
\]
è sempre pari a $mathbb(P)(V_n) = (text(n. casi favorevoli))/(text(n. casi totali)) = 22/(100) =22 %$, così come è sempre uguale a $78% = 100% - 22% = 1 - 22/(100)$ la probabilità dell’evento complementare:
\[
R_n := \{ \text{estraggo una mela rossa alla $n$-esima estrazione}\} = \overline{V_n}\; .
\]
Chi ti ha risposto ha considerato altri eventi, cioè (nel caso di axpgn):
\[
E = \{ \text{estraggo almeno una mela verde in due lanci}\} \; ,
\]
il quale equivale all’evento unione dei due eventi elementari:
\[
\begin{split}
V_1 &= \{ \text{estraggo una mela verde alla prima estrazione}\} \\
R_1\cap V_2 &= \{ \text{estraggo una mela rossa alla prima estrazione ed una verde nella seconda}\}
\end{split}
\]
che sono disgiunti (perché alla prima estrazione accadono fatti incompatibili); dunque:[nota]axpgn ha usato, per il calcolo di $mathbb(P)(E)$ un trucco: infatti, l’evento $E$ ha come complementare l’evento $F=\{text(estraggo due mele rosse in due estrazioni consecutive)\}$ e perciò $mathbb(P)(E) = 1 - mathbb(P) (F)$; d’altra parte $F$ è intersezione dei due eventi $R_1$ ed $R_2$, i quali sono indipendenti (perché c’è reimmissione), dunque $mathbb(P)(F) = mathbb(P)(R_1 nn R_2) = mathbb(P)(R_1) * mathbb(P) (R_2) = 0.78^2 = 0.608 = 60.8 %$ e da ciò di nuovo $mathbb(P)(E) = 1 - 0.608 = 0.392 = 39.2%$.[/nota]
\[
\begin{split}
\mathbb{P} (E) &= \mathbb{P} (V_1) + \mathbb{P} (R_1 \cap V_2) \\
&= \mathbb{P} (V_1) + \mathbb{P} (R_1)\cdot \mathbb{P} (V_2) \\
&= 0.22 + 0.78\cdot 0.22 \\
&= 0.392 = 39.2 \% \; .
\end{split}
\]
@gugo82 la domanda è sempre stata è questa: dato per assunto che in un sacco io ho 22 mele verdi e 78 mele rosse...qual'è la probabilità che io pescando nel sacco due volte ( con reimmissione ) prenda una mela verde...più esattamente nello specifico tutto è partito da una discussione con un mio amico in cui si parlava di un gioco dove ogni personaggio ha il 22% di fare un secondo turno...io sostenevo che affrontando 2 personaggi che partono prima del mio...la probabilità che uno dei due facesse un secondo turno fosse sempre del 22%...mentre il mio amico mostrandomi questa formula 1-(1-0,22)^2 ...diceva che la probabilità che uno dei due facesse un secondo turno era del 39% circa...
quello che non avevo quindi chiaro era : se la probabilità (di prendere una mela verde/di fare un secondo turno) rimanesse sempre del 22% o se diventasse il 39%...
Ripeto non sono un addetto ai lavori e non tocco un libro di matematica da secoli ma mi pare di aver capito che se SOLO (confermami se è giusto o sbaglio) io do come dato estrarrò una mela verde ( uno dei due personaggi faccia un secondo turno)...allora tutto il calcolo mi porta ad avere una percentuale del 39%...o qualcosa del genere...ripeto perdonami se dico cose stupide.
quindi in conclusione per come l ho inteso io ...la risposta esatta alla mia domanda è che la probabilità di pescare una mela verde in due estrazioni ( uno dei due personaggi faccia un secondo turno) NON SI MODIFICA...rimane sempre del 22%....è corretto?
Scusate ancora il disturbo.
quello che non avevo quindi chiaro era : se la probabilità (di prendere una mela verde/di fare un secondo turno) rimanesse sempre del 22% o se diventasse il 39%...
Ripeto non sono un addetto ai lavori e non tocco un libro di matematica da secoli ma mi pare di aver capito che se SOLO (confermami se è giusto o sbaglio) io do come dato estrarrò una mela verde ( uno dei due personaggi faccia un secondo turno)...allora tutto il calcolo mi porta ad avere una percentuale del 39%...o qualcosa del genere...ripeto perdonami se dico cose stupide.
quindi in conclusione per come l ho inteso io ...la risposta esatta alla mia domanda è che la probabilità di pescare una mela verde in due estrazioni ( uno dei due personaggi faccia un secondo turno) NON SI MODIFICA...rimane sempre del 22%....è corretto?
Scusate ancora il disturbo.
Provo a dirti anche la mia. Una "estrazione" è un evento elementare, e come già abbondantemente descritto ha sempre la stessa probabilità (22%). Se estrai due volte non hai più un evento semplice, ed è necessario specificare quale probabilità vuoi calcolare.
1) alla seconda estrazione esce verde: è ancora un evento elementare, con probabilità del 22%;
2) nelle prime due estrazioni esce verde: non è elementare e non è neppure chiaro, perché potrebbe significare più cose:
2a) in entrambe le estrazioni esce verde .... 0.22x0.22;
2b) nella prima esce rosso e nella seconda verde, o, analogamente, nella prima esce verde e nella seconda rosso ... 0,22x0.78;
2c) in una delle due esce verde e nell'altra rosso, che è l'unione dei due eventi incompatibili del caso precedente, e quindi la probabilità è il doppio .... 0,22x0.78+0.22x0,78=2x0.22x0.78;
2d) in almeno una delle due estrazioni esce verde, caso che ti è stato illustrato da molti, che puoi vedere come il contrario di "esce rosso ad entrambe le estrazioni, da cui la probabilità è 1-0.78x0.78, se vogliamo rimanere con espressioni meno formali, ma puoi anche vedere come unione di tre eventi incompatibili: alla prima esce verde e alla seconda rosso, alla prima esce rosso e alla seconda verde, sia alla prima sia alla seconda esce verde, cioè tutti i casi tranne l'evento "esce rosso sia alla prima estrazione sia alla seconda".
Prova a ragionarci su, e facci sapere. Ciao.
1) alla seconda estrazione esce verde: è ancora un evento elementare, con probabilità del 22%;
2) nelle prime due estrazioni esce verde: non è elementare e non è neppure chiaro, perché potrebbe significare più cose:
2a) in entrambe le estrazioni esce verde .... 0.22x0.22;
2b) nella prima esce rosso e nella seconda verde, o, analogamente, nella prima esce verde e nella seconda rosso ... 0,22x0.78;
2c) in una delle due esce verde e nell'altra rosso, che è l'unione dei due eventi incompatibili del caso precedente, e quindi la probabilità è il doppio .... 0,22x0.78+0.22x0,78=2x0.22x0.78;
2d) in almeno una delle due estrazioni esce verde, caso che ti è stato illustrato da molti, che puoi vedere come il contrario di "esce rosso ad entrambe le estrazioni, da cui la probabilità è 1-0.78x0.78, se vogliamo rimanere con espressioni meno formali, ma puoi anche vedere come unione di tre eventi incompatibili: alla prima esce verde e alla seconda rosso, alla prima esce rosso e alla seconda verde, sia alla prima sia alla seconda esce verde, cioè tutti i casi tranne l'evento "esce rosso sia alla prima estrazione sia alla seconda".
Prova a ragionarci su, e facci sapere. Ciao.
Nessun disturbo ma il tuo post continua a non essere chiaro (per esempio, negli ultimi due paragrafi fai due affermazioni in contraddizione fra loro). Il fatto è che in Matematica la precisione non è un fatto solo estetico ma fondamentale
Comunque, mi sembra che confermi la mia impressione iniziale: a te interessa sapere qual è al probabilità che ALMENO uno dei due personaggi passi al secondo turno, e la risposta è quella che ti ha dato il tuo amico (ed anch'io) cioè il $39%$ circa.
L'unica cosa di cui devi convincerti è che stai parlando di due eventi DIVERSI, questo ti deve essere chiaro.
La probabilità di estrarre una mela verde, quella di passare al secondo turno, quella di fare croce lanciando una moneta è sempre la stessa (ovviamente diversa tra lanciare la moneta od estrarre la mela) prima di ogni SINGOLO evento; mentre è un caso diverso (riflettici) e quindi con probabilità DIVERSA dalla precedente (in generale) quello di estrarre ALMENO una mela verde in due lanci o che ALMENO uno dei due personaggi passi al secondo turno oppure che ALMENO una testa esca se lancio una moneta due volte.
Cordialmente, Alex
Comunque, mi sembra che confermi la mia impressione iniziale: a te interessa sapere qual è al probabilità che ALMENO uno dei due personaggi passi al secondo turno, e la risposta è quella che ti ha dato il tuo amico (ed anch'io) cioè il $39%$ circa.
L'unica cosa di cui devi convincerti è che stai parlando di due eventi DIVERSI, questo ti deve essere chiaro.
La probabilità di estrarre una mela verde, quella di passare al secondo turno, quella di fare croce lanciando una moneta è sempre la stessa (ovviamente diversa tra lanciare la moneta od estrarre la mela) prima di ogni SINGOLO evento; mentre è un caso diverso (riflettici) e quindi con probabilità DIVERSA dalla precedente (in generale) quello di estrarre ALMENO una mela verde in due lanci o che ALMENO uno dei due personaggi passi al secondo turno oppure che ALMENO una testa esca se lancio una moneta due volte.
Cordialmente, Alex
La probabilità dell’evento richiesto è $39.2%$, non $22%$.
Ti puoi rendere conto del fatto che le probabilità sono differenti anche facendo una tabella in cui sulle prima riga riporti il risultato della prima estrazione, sulla prima colonna il risultato della seconda e nelle caselle centrali i possibili accoppiamenti:
\[
\begin{matrix}
& V & R \\
V & (V,V) & (R,V) \\
R & (V,R) & (R,R)
\end{matrix}
\]
a cui corrisponde la matrice di probabilità:
\[
\begin{matrix}
& V & R \\
V & 0.22^2 & 0.78\cdot 0.22 \\
R & 0.22\cdot 0.78 & 0.78^2
\end{matrix} \qquad \text{cioè} \qquad \begin{matrix}
& V & R \\
V & 0.048 & 0.172 \\
R & 0.172 & 0.608
\end{matrix}
\]
I casi in cui si verifica l’evento $E=\{text(estraggo almeno una mela verde in due lanci)\}$ sono quelli evidenziati in verde:
\[
\begin{matrix}
& V & R \\
V & \color{green}{(V,V)} & \color{green}{(R,V)} \\
R & \color{green}{(V,R)} & (R,R)
\end{matrix} \qquad \rightarrow \qquad \begin{matrix}
& V & R \\
V & \color{green}{0.048} & \color{green}{0.172} \\
R & \color{green}{0.172} & 0.608
\end{matrix}
\]
mentre i casi in cui si verificano gli eventi $V_1:=\{text(estraggo una mela verde al primo lancio)\}$ sono quelli evidenziati in rosso:
\[
\begin{matrix}
& V & R \\
V & \color{red}{(V,V)} & (R,V) \\
R & \color{red}{(V,R)} & (R,R)
\end{matrix} \qquad \rightarrow \qquad \begin{matrix}
& V & R \\
V & \color{red}{0.048} & 0.172 \\
R & \color{red}{0.172} & 0.608
\end{matrix}
\]
ed i casi in cui si verifica $V_2:=\{text(estraggo una mela verde al secondo lancio)\}$ sono quelli evidenziati in arancione:
\[
\begin{matrix}
& V & R \\
V & \color{orange}{(V,V)} & \color{orange}{(R,V)} \\
R & (V,R) & (R,R)
\end{matrix} \qquad \rightarrow \qquad \begin{matrix}
& V & R \\
V & \color{orange}{0.048} & \color{orange}{0.172} \\
R & 0.172 & 0.608
\end{matrix}
\]
quindi:
\[
\begin{split}
\mathbf{P} (E) &= \color{green}{0.048} + \color{green}{0.172} + \color{green}{0.172} = 0.392 = 39.2 \% \\
\mathbf{P} (V_1) &= \color{red}{0.048} + \color{red}{0.172} = 0.22 = 22\% \\
\mathbf{P} (V_2) &= \color{orange}{0.048} + \color{orange}{0.172} = 0.22 = 22\% \;.
\end{split}
\]
Ti puoi rendere conto del fatto che le probabilità sono differenti anche facendo una tabella in cui sulle prima riga riporti il risultato della prima estrazione, sulla prima colonna il risultato della seconda e nelle caselle centrali i possibili accoppiamenti:
\[
\begin{matrix}
& V & R \\
V & (V,V) & (R,V) \\
R & (V,R) & (R,R)
\end{matrix}
\]
a cui corrisponde la matrice di probabilità:
\[
\begin{matrix}
& V & R \\
V & 0.22^2 & 0.78\cdot 0.22 \\
R & 0.22\cdot 0.78 & 0.78^2
\end{matrix} \qquad \text{cioè} \qquad \begin{matrix}
& V & R \\
V & 0.048 & 0.172 \\
R & 0.172 & 0.608
\end{matrix}
\]
I casi in cui si verifica l’evento $E=\{text(estraggo almeno una mela verde in due lanci)\}$ sono quelli evidenziati in verde:
\[
\begin{matrix}
& V & R \\
V & \color{green}{(V,V)} & \color{green}{(R,V)} \\
R & \color{green}{(V,R)} & (R,R)
\end{matrix} \qquad \rightarrow \qquad \begin{matrix}
& V & R \\
V & \color{green}{0.048} & \color{green}{0.172} \\
R & \color{green}{0.172} & 0.608
\end{matrix}
\]
mentre i casi in cui si verificano gli eventi $V_1:=\{text(estraggo una mela verde al primo lancio)\}$ sono quelli evidenziati in rosso:
\[
\begin{matrix}
& V & R \\
V & \color{red}{(V,V)} & (R,V) \\
R & \color{red}{(V,R)} & (R,R)
\end{matrix} \qquad \rightarrow \qquad \begin{matrix}
& V & R \\
V & \color{red}{0.048} & 0.172 \\
R & \color{red}{0.172} & 0.608
\end{matrix}
\]
ed i casi in cui si verifica $V_2:=\{text(estraggo una mela verde al secondo lancio)\}$ sono quelli evidenziati in arancione:
\[
\begin{matrix}
& V & R \\
V & \color{orange}{(V,V)} & \color{orange}{(R,V)} \\
R & (V,R) & (R,R)
\end{matrix} \qquad \rightarrow \qquad \begin{matrix}
& V & R \\
V & \color{orange}{0.048} & \color{orange}{0.172} \\
R & 0.172 & 0.608
\end{matrix}
\]
quindi:
\[
\begin{split}
\mathbf{P} (E) &= \color{green}{0.048} + \color{green}{0.172} + \color{green}{0.172} = 0.392 = 39.2 \% \\
\mathbf{P} (V_1) &= \color{red}{0.048} + \color{red}{0.172} = 0.22 = 22\% \\
\mathbf{P} (V_2) &= \color{orange}{0.048} + \color{orange}{0.172} = 0.22 = 22\% \;.
\end{split}
\]
"alucard1981":
io sostenevo che affrontando 2 personaggi che partono prima del mio...la probabilità che uno dei due facesse un secondo turno fosse sempre del 22%...mentre il mio amico mostrandomi questa formula 1-(1-0,22)^2 ...diceva che la probabilità che uno dei due facesse un secondo turno era del 39% circa...
Ma è naturale. Anche intuitivamente: più persone ci sono prima di te, più è probabile che almeno una abbia un doppio turno. Puoi facilmente constatare che se ci sono 25 persone davanti, allora la prob che almeno uno giochi un doppio turno è praticamente certa, ovvero il 99,9%. In questa situazione in media dovrai attenderti che circa 5/6 persone giochino un turno doppio ad ogni turno.
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