Calcolo probabilità

[donald_zeka]

Abbiamo $1024$ provette e $4096$ cellule da testare. Se le cellule vengono inserite casualmente nelle provette, qual è la probabilità di trovarne $3$ in una data provetta?
Innanzitutto ho calcolato i casi possibili di combinazioni totali come combinazioni con ripetizione $(( 1024+4096-1) , (4096) )$ e per casi favorevoli ho considerato che se la "data provetta" deve avere $3$ cellule, allora le altre $1023$ si potranno combinare in $((1023+4093-1) , (4093) )$ modi con una probabilità finale di circa $0,1024$
Il problema è che non mi convince, sicuramente sbaglio qualcosa nei casi favorevoli o nell'interpretazione generale del problema...ma cosa?

[adaBTTLS1]

Si parla di inserimento casuale ... secondo me i casi possibili sono molti di più, e rispetto ad essi anche i casi favorevoli aumentano. Per confronto, con i miei calcoli ho ottenuto una probabilità di circa $0.1954$, che è un po' più alta della tua.
Io sono partita dalle funzioni dall'insieme delle cellule all'insieme delle provette, ed ho considerato la frase "in una data provetta" alla lettera, cioè non una "generica" provetta.
Ti scrivo la formula, poi valuta tu:

$(((4096),(3))*1023^4093)/(1024^4096)$

ciao, facci sapere

[donald_zeka]

Si mi sa che il risultato giusto è il tuo.
Mi spieghi perché i casi totali sono $1024^4096$? e non combinazioni con ripetizione?

[adaBTTLS1]

il numero di funzioni da un insieme di $n$ elementi a un insieme di $k$ elementi è $k^n$
tu hai $4096$ cellule da "mandare" a caso in $1024$ provette, per cui i modi sono quante sono le funzioni dall'insieme delle cellule all'insieme delle provette, cioè $1024^4096$.
per quanto riguarda i casi favorevoli, considera che puoi scegliere in $((4096),(3))$ modi le tre cellule da mandare nella provetta prescelta, e poi le rimanenti cellule possono essere mandate nelle rimanenti provette in $1023^4093$ modi.
OK?

[donald_zeka]

Ho capito, per i casi totali si tratta in effetti di disposizioni con ripetizione non di combinazioni con ripetizione, però non capisco una cosa, per scegliere le $3$ cellule della data provetta hai detto che si fa $((4096) , (3))$, perché? se nei casi favorevoli si usano le disposizioni con ripetizione, ossia dove due gruppi differiscono se hanno elementi diversi oppure per l'ordine in cui sono disposti gli elementi, allora la terna $123$ nella data provetta dovrebbe essere diversa dalla terna $321$, considerando che nei casi totali abbiamo conteggiato tutto diversificando anche per ordine degli elementi, non capisco dunque perché non si debba scegliere in $4096*4095*4094$ modi le cellule della provetta

[adaBTTLS1]

boh, penso che partiamo da diversi modi di ragionamento: infatti nemmeno io sono riuscita a correggere il tuo procedimento perché non me lo spiego, e potevo solo concludere di essere d'accordo con te nel senso che "non mi convince".
immagina le cellule numerate, ed anche le provette. scegliamo una provetta, ad esempio la prima. ad essa mandiamo tre cellule. in quanti modi possiamo scegliere le tre cellule da mandare?
il numero di combinazioni che ho scritto è il numero di modi per scegliere tre elementi da un insieme di 4096 elementi, tanti quanti sono i possibili 3-sottoinsiemi.
una volta scelti i tre elementi, quante cellule rimangono? $4096-3=4093$. queste cellule in quante provette possono essere mandate? in tutte le altre tranne la prima, in maniera arbitraria: la prima in 1023 modi, la seconda in 1023 modi, la terza in 1023 modi, .... , la 4093-esima in 1023 modi (e $1023^4093$ è anche il numero di funzioni da un insieme di 4093 elementi a un insieme di 1023 elementi).

[donald_zeka]

Il problema è che, quando tu scegli le $3$ cellule da mandare nella data provetta, facendo le combinazioni non tieni conto dell'ordine in cui le mandi, e questo non mi tornava poiché credevo che nei casi totali, facendo le disposizioni con ripetizione, contasse l'ordine in cui gli elementi vengono disposti, questa cosa è in effetti vera perché se la provetta $1$ ha $4095$ cellule e la provetta $2$ ne ha $1$, questa disposizione è diversa da quella in cui la prima ne ha $1$ e la seconda ne ha $4095$, ma la questione sta nel fatto che le cellule sono indifferenziate, quindi chiunque siano quelle $4095$ cellule mandate nella $1$ non ha alcuna importanza essendo esse indistinguibili, basta che siano $4095$, dunque la data provetta come hai detto giustamente dovrà avere $3$ cellule che, essendo indistinguibili, potranno essere scelte in $((4096),(3))$ modi.
E quindi il tuo risultato è corretto, il problema è capire perché se io considero la disposizione in cui la provetta $1$ ha $4095$ cellule e la $2$ ne ha $1$ e la disposizione in cui la $1$ ha $1$ cellula e la $2$ ne ha $4095$ uguali tra loro, allora i casi totali sono combinazioni con ripetizione ed esattamente quelli che ho trovato io, ma quali sono i casi favorevoli? a quanto pare non sono quelli che ho trovato io perché vengono risultati diversi, ma si dovrebbe giungere allo stesso risultato anche in questo modo, no?

[adaBTTLS1]

nel mio calcolo sono distinguibili le varie provette e le varie cellule, ma non sono distinguibili i vari passaggi, cioè ad esempio se mando la cellula 1 prima o dopo rispetto alla cellula 2 nella stessa provetta. io conto le funzioni: due funzioni $f,g$ sono "uguali" se hanno uguali il dominio $D$ e il codominio $C$ e se ogni elemento del dominio ha la stessa immagine ($AA x in D, f(x)=g(x) in C$). in fondo, "numerare" le cellule nel senso di considerarle distinguibili equivale a dare un ordinamento totale al dominio, e quindi ad imporre l'ordine con cui vanno considerate le immissioni nelle varie provette.