Calcolo limiti
Un'ultima cosa....
Mi potreste spiegare il teorema di De L'Hopital? e spiegarmi anche come utilizzarlo nel calcolo dei limiti?
Grazie $10^(+oo)$
CMFG
Mi potreste spiegare il teorema di De L'Hopital? e spiegarmi anche come utilizzarlo nel calcolo dei limiti?
Grazie $10^(+oo)$
CMFG
Risposte
Ho guardato il libro..... Non abbiamo ancora fatto le regole di derivazione ma le ho già più o meno imparate e applicate nel calcolo dei limti.... Forse l'ho capito.... Nulla era solo per curiosità personale....
Ciao
Ciao
Teoria
Date 2 funzioni reali f e g continue e derivabili in [a,b] con a Se esiste un valore A appartenente all'intervallo R(insieme numeri reali) tale che
derivata(f)/derivata(g) = A per ogni x (N.B la derivata è fatta rispetto a x)
e se
f(x) tende a zero e g(x) tende a zero per ogni x
oppure
f(x) tende a infinito e g(x) tende a infinito per ogni x
allora f(x)/g(x) = A per ogni x
In pratica, se si ha un quoziente il cui numeratore e denominatore convergono tutti e due a zero oppure divergono a infinito, si calcola il quoziente delle derivate del numeratore e del denominatore. Se esiste il limite di questo nuovo quoziente, allora esiste anche il limite del quoziente originale, e i due limiti sono uguali. Se invece il nuovo quoziente converge a sua volta ad una forma indeterminata, si può ripetere l'operazione calcolando la seconda derivata e così via. La non esistenza del limite del quoziente delle derivate comunque non implica la non esistenza del limite del quoziente originale.
Praticamente, se hai un rapporto di due funzioni, e calcolando il limite ti esce (0/0) oppure (infinito/infinito), allora devi fare la derivata del numeratore e la derivata del denominatore e poi calcoli il limite.
Esempio
lim (per -> pi/2) (3*sin^2(x)+sin(x)-4/cos(x)) = f.i (0/0)
Applicando il teorema di de L'Hopital si ha:
lim(per -> pi/2) -((6*sin(x)*cos(x)+cos(x))/sin(x)) = 0
Date 2 funzioni reali f e g continue e derivabili in [a,b] con a Se esiste un valore A appartenente all'intervallo R(insieme numeri reali) tale che
derivata(f)/derivata(g) = A per ogni x (N.B la derivata è fatta rispetto a x)
e se
f(x) tende a zero e g(x) tende a zero per ogni x
oppure
f(x) tende a infinito e g(x) tende a infinito per ogni x
allora f(x)/g(x) = A per ogni x
In pratica, se si ha un quoziente il cui numeratore e denominatore convergono tutti e due a zero oppure divergono a infinito, si calcola il quoziente delle derivate del numeratore e del denominatore. Se esiste il limite di questo nuovo quoziente, allora esiste anche il limite del quoziente originale, e i due limiti sono uguali. Se invece il nuovo quoziente converge a sua volta ad una forma indeterminata, si può ripetere l'operazione calcolando la seconda derivata e così via. La non esistenza del limite del quoziente delle derivate comunque non implica la non esistenza del limite del quoziente originale.
Praticamente, se hai un rapporto di due funzioni, e calcolando il limite ti esce (0/0) oppure (infinito/infinito), allora devi fare la derivata del numeratore e la derivata del denominatore e poi calcoli il limite.
Esempio
lim (per -> pi/2) (3*sin^2(x)+sin(x)-4/cos(x)) = f.i (0/0)
Applicando il teorema di de L'Hopital si ha:
lim(per -> pi/2) -((6*sin(x)*cos(x)+cos(x))/sin(x)) = 0
Esempio:
$lim_(x->0+)$ $xlog(x)$ si presenta nella forma indeterminata $0*(-oo)$
mi riscrivo il limite come
$lim_(x->0+)$ $log(x)/(1/x)$
ed ora posso applicare il teorema perche' ho sia numeratore che denominatore che tendono a $oo$ cioe' ho la forma indeterminata $oo/oo$ ed ottengo:
$(log(x))'=1/x$
$(1/x)'= -(1/x^2)$
cioe'
$lim_(x->0+) log(x)/(1/x)= lim_(x->0+) (1/x)/(-(1/x^2))= lim_(x->0+) -x=0$
$lim_(x->0+)$ $xlog(x)$ si presenta nella forma indeterminata $0*(-oo)$
mi riscrivo il limite come
$lim_(x->0+)$ $log(x)/(1/x)$
ed ora posso applicare il teorema perche' ho sia numeratore che denominatore che tendono a $oo$ cioe' ho la forma indeterminata $oo/oo$ ed ottengo:
$(log(x))'=1/x$
$(1/x)'= -(1/x^2)$
cioe'
$lim_(x->0+) log(x)/(1/x)= lim_(x->0+) (1/x)/(-(1/x^2))= lim_(x->0+) -x=0$
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