Calcolo limite
Ciao,
devo calcolare il seguente limite: $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)-2\sin(x)}{x^3}=-1$
I passaggi che ho svolto sono questi:
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)}{x^3}-\lim_{x\to 0}\frac{2\sin(x)}{x^3}=$
Per l'equivalenza asintotica (oppure applicando il limite notevole) risulta:
$\lim_{x\to 0}\frac{2x}{x^3}-\lim_{x\to 0}\frac{2x}{x^3}=0$
Risolvendo il limite con gli sviluppi di Taylor, mi viene in effetti $-1$... perché?
Cosa sbaglio?
Grazie in anticipo
devo calcolare il seguente limite: $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)-2\sin(x)}{x^3}=-1$
I passaggi che ho svolto sono questi:
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)}{x^3}-\lim_{x\to 0}\frac{2\sin(x)}{x^3}=$
Per l'equivalenza asintotica (oppure applicando il limite notevole) risulta:
$\lim_{x\to 0}\frac{2x}{x^3}-\lim_{x\to 0}\frac{2x}{x^3}=0$
Risolvendo il limite con gli sviluppi di Taylor, mi viene in effetti $-1$... perché?
Cosa sbaglio?
Grazie in anticipo
Risposte
$ \lim_{x\to 0}\frac{2x}{x^3}-\lim_{x\to 0}\frac{2x}{x^3}=0 $ non lo puoi risolvere così. Le regole di algebra dei limiti non lo consentono. Prova a usare l'Hospital sul primo limite (metodo stupido) altrimenti esprimi $sen(2x)=2*sin(x)*cos(x)$ e poi raccogli $sen(x)$.
"SirDanielFortesque":
Le regole di algebra dei limiti non lo consentono.
Allora mi è sfuggito qualcosa... convieni con me che $\lim_{x \to x_0}[f(x)-g(x)]=\lim_{x \to x_0}f(x)-\lim_{x \to x_0}g(x)$?
Perché non posso applicare tale proprietà nel mio caso? Oppure ti riferisci all'applicazione del limite notevole?
De l'Hopital mi è categoricamente vietato, anche perché a volte produce risultati errati...
PS: Ma Zarok che fine ha fatto?
"Antinomio":
De l'Hopital mi è categoricamente vietato, anche perché a volte produce risultati errati...
???
Tra l'altro qui De L'Hopital ci sta benissimo
"axpgn":
[quote="Antinomio"]De l'Hopital mi è categoricamente vietato, anche perché a volte produce risultati errati...
???
Tra l'altro qui De L'Hopital ci sta benissimo
[/quote]In questo caso sì, ma preferirei risolverlo in altra maniera... come afferma il mio professore "usare de l'Hopital è come sparare ad una mosca con un cannone".
Potreste spiegarmi gentilmente perché il mio ragionamento è errato?
"Antinomio":
come afferma il mio professore "usare de l'Hopital è come sparare ad una mosca con un cannone".
Ma non è vero! Anzi, spesso è molto più facile applicare De L'Hopital che altre tecniche …
Tu sei sicuro che tutte le condizioni siano rispettate per applicare l'algebra dei limiti?
Eh, comunque chi l'ha detto "che ogni tanto produce risultati errati"? Perché questa è abbastanza grossa …
Se li usi quando valgono le ipotesi i teoremi funzionano.
Questo vale, è vero, ...
ma nel tuo caso usi gli asintotici nella maniera scorretta. Hai una differenza a numeratore e nelle differenze le equivalenze asintotiche non funzionano.
Funziona invece DeLHospital.
[ot]
Ho sconfitto Zarok talmente tante volte (con e senza trucchi, con e senza De L'hospital insomma) che ormai mi sono stufato di giocare e studio un poco più di prima. Ma mai abbastanza![/ot]
Questo vale, è vero, ...
$ \lim_{x \to x_0}[f(x)-g(x)]=\lim_{x \to x_0}f(x)-\lim_{x \to x_0}g(x) $
ma nel tuo caso usi gli asintotici nella maniera scorretta. Hai una differenza a numeratore e nelle differenze le equivalenze asintotiche non funzionano.
Funziona invece DeLHospital.
[ot]
"Antinomio":
Ma Zarok che fine ha fatto?
Ho sconfitto Zarok talmente tante volte (con e senza trucchi, con e senza De L'hospital insomma) che ormai mi sono stufato di giocare e studio un poco più di prima. Ma mai abbastanza![/ot]
"SirDanielFortesque":
Se li usi quando valgono le ipotesi i teoremi funzionano.
Avete ragione, mi è sfuggito che l'algebra dei limiti si può applicare solo se i limiti dei termini separati sono finiti…
Applicherò de l'Hopital. Grazie mille per l'aiuto!
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