Calcolo limite
Ho questo limite: $lim_(x->+infty)(xln((x+2)/x))$. Ho pensato di ricondurmi al limite $lim_(x->+infty)((1+1/x)^x)=e$.
Quindi ho riscritto così: $lim_(x->+infty)((ln((x+2)/x)^x)$ $->$ $lim_(x->+infty)((ln(1+2/x)^x)$.
Il problema qui è che non so com eliminare il logaritmo. Potreste aiutarmi per favore?
Quindi ho riscritto così: $lim_(x->+infty)((ln((x+2)/x)^x)$ $->$ $lim_(x->+infty)((ln(1+2/x)^x)$.
Il problema qui è che non so com eliminare il logaritmo. Potreste aiutarmi per favore?
Risposte
$ln[(1+2/x)^(x/2)]^2$ ora il termine tra quadre tende ad $e$ e dunque ottieni $lne^2=2$
Ma io così starei facendo il limite del'argomento del logaritmo senza togliere il logaritmo, quindi ciò è lecito?
quando calcoli $ln (x+2)$ con $x -> +oo$ non fai comunque solo il limite dell'argomento?
Si, in effetti. Però non capisco ancora una cosa: qui ho un $2/x$ mentre nel limite notevole ho un $1/x$. Come mai si può fare?
al netto di correggere l'esponente le due scritture sono equivalenti. scrivi infatti $(1+1/(x/2))^(x/2)$ se ora chiami per esempio $x/2=p$ ottieni $(1+1/p)^p$ con $p->+oo$ e ti riconduci quindi al limite di $e$.
volendo il limite proposto si risolveva in un passaggio con gli sviluppi asintotici se mai li hai visti
volendo il limite proposto si risolveva in un passaggio con gli sviluppi asintotici se mai li hai visti
Perché il limite di Nepero generalizzato è $lim_(f(x)->infty) (1+1/(f(x)))^(f(x))=e$
se poi ti fa proprio brutto quel due ad esponente, lo scendi..
Ok, io parto con $2/x$ e cerco di scrivere $1/y$ in maniera equivalente a $2/x$ e quindi $(1/x)/2$.
Grazie tante per l'aiuto!
P.S: potreste aiutarmi nel problema di trigonometria?
Grazie tante per l'aiuto!
P.S: potreste aiutarmi nel problema di trigonometria?
attento che hai scritto male però. quelle due espressioni non sono equivalenti
Si ho scritto male, ma intendevo $1/(x/2)$
Ciao,
un altro metodo per risolvere il limite è
$lim_(x->+oo) xln(1+2/x)$ ( in pratica in questo passaggio mi sono limitato a semplificare l'argomento del logaritmo)
Adesso con qualche passaggio algebrico trasformiamo la funzione in
$2 * ln(1+2/x)/(2/x)$ e facciamo il limite su questa, chiamando $2/x=t$, quindi quando $x->+oo$ si ha che $t->0$
$lim_(t->0) 2 * ln(1+t)/t $ e quindi qui abbiamo un limite noto, ricavando che il nostro limite tende a $2$
un altro metodo per risolvere il limite è
$lim_(x->+oo) xln(1+2/x)$ ( in pratica in questo passaggio mi sono limitato a semplificare l'argomento del logaritmo)
Adesso con qualche passaggio algebrico trasformiamo la funzione in
$2 * ln(1+2/x)/(2/x)$ e facciamo il limite su questa, chiamando $2/x=t$, quindi quando $x->+oo$ si ha che $t->0$
$lim_(t->0) 2 * ln(1+t)/t $ e quindi qui abbiamo un limite noto, ricavando che il nostro limite tende a $2$
Bello questo! Potresti aiutarmi nel limite dell'altro thread (limite misto)
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