Calcolo limite
volevo calcolare il seguente limite per $x$ tendente ad infinito: $((x^2-5x)/(x^2-3x))^x$, dovrebbe aversi se non sbaglio una forma indeterminata, faccio la trasformazione $((x^2-3x)/(x^2-3x)+(-2x)/(x^2-3x))^x$, quindi a questo punto si ha
la forma $(1+(-2x)/(x^2-3x))^x$, trasformando ulteriormente ho $(1+(-2x)/(x^2-3x))^((-2x)/((x^2-3x))((x^2-3x)/-2)))$,
pertanto avrei $e$ elevato ameno infinito cioé $1/e$ elevato ad infinito, quindi il limite é zero. Forse ho fatto i calcoli un pò frettolosamente , quindi magari ho sbagliato, in tal caso mi indichereste dove?
Grazie!
la forma $(1+(-2x)/(x^2-3x))^x$, trasformando ulteriormente ho $(1+(-2x)/(x^2-3x))^((-2x)/((x^2-3x))((x^2-3x)/-2)))$,
pertanto avrei $e$ elevato ameno infinito cioé $1/e$ elevato ad infinito, quindi il limite é zero. Forse ho fatto i calcoli un pò frettolosamente , quindi magari ho sbagliato, in tal caso mi indichereste dove?
Grazie!
Risposte
Ciao, l'errore sta nell'applicazione del limite notevole. La forma alla quale vuoi arrivare è $$
\lim_{x\to +\infty}{\left[\left(1+\frac{-2x}{x^2-3x}\right)^{\frac{x^2-3x}{-2x}}\right]^{\frac{-2x^2}{x^2-3x}}}
$$ Si ottiene quindi il risultato $$e^{-2}.$$
\lim_{x\to +\infty}{\left[\left(1+\frac{-2x}{x^2-3x}\right)^{\frac{x^2-3x}{-2x}}\right]^{\frac{-2x^2}{x^2-3x}}}
$$ Si ottiene quindi il risultato $$e^{-2}.$$
Ok! Ho fatto un errore di distrazione, semplificando per $x$ avrei potuto anche scrivere $(1+(-2)/(x-3))^x$ ed avrei potuto scrivere in modo equivalente $(1+(-2)/(x-3))^((x-3+3)(-2)/(-2))=(1+(-2)/(x-3))^(((x-3)/(-2))(-2))(1+(-2)/(x-3))^3$ e passando al limite per $x$ tendente ad infinito ottengo $(e^(-2))(1^3)=e^(-2)$. In sostanza quando si ha una forma di questo tipo e bisogna calcolare il limite per $x$ tendente ad infinito, si deve osservare se il contenuto dentro la parentesi si può scomporre in $(1+.....)$ una certa quantità in funzione di $x$ che tenda a zero sempre per $x$ tendente ad infinito,
se ho ben capito.
Come altro esempio ho provato a risolvere il limite sempre per $x$tendente ad infinito di $((6+x)/(5+x))^x=(1+(1/(5+x)))^((5+x)(x/(5+x))$ e passando al limite avrei $(e^1)=e$.
Un altro esempio che ho visto $((2+3x^2)/(1+3x^2))^x$, in questo caso il limite se non sbaglio é $1$, qui si può essere tentati erroneamente di fare il limite del contenuto dentro parentesi che dà $1$ per poi elevarlo ad infinito che da sempre $1$, pertanto risultato esatto ma il procedimento sarebbe errato in quanto il contenuto dentro parentesi si può scrivere nella forma $(1+(1/(1+3x^2))^x$. Sono esatte le considerazoni che ho riportato?
se ho ben capito.
Come altro esempio ho provato a risolvere il limite sempre per $x$tendente ad infinito di $((6+x)/(5+x))^x=(1+(1/(5+x)))^((5+x)(x/(5+x))$ e passando al limite avrei $(e^1)=e$.
Un altro esempio che ho visto $((2+3x^2)/(1+3x^2))^x$, in questo caso il limite se non sbaglio é $1$, qui si può essere tentati erroneamente di fare il limite del contenuto dentro parentesi che dà $1$ per poi elevarlo ad infinito che da sempre $1$, pertanto risultato esatto ma il procedimento sarebbe errato in quanto il contenuto dentro parentesi si può scrivere nella forma $(1+(1/(1+3x^2))^x$. Sono esatte le considerazoni che ho riportato?
"francicko":
Un altro esempio che ho visto $((2+3x^2)/(1+3x^2))^x$, in questo caso il limite se non sbaglio é $1$, qui si può essere tentati erroneamente di fare il limite del contenuto dentro parentesi che dà $1$ per poi elevarlo ad infinito che da sempre $1$, pertanto risultato esatto ma il procedimento sarebbe errato in quanto il contenuto dentro parentesi si può scrivere nella forma $(1+(1/(1+3x^2))^x$. Sono esatte le considerazoni che ho riportato?
Più che altro quando hai [tex]1^\infty[/tex] ti devi fermare e dire che "non puoi dire nulla" dal momento che si tratta di una forma di indecisione; quindi devi riscrivere il limite in una forma che ti permetta di calcolarlo... la forma [tex]1^\infty[/tex] si riesce a ricondurre al limite notevole di Napier. Ti riporto tutte e sette le forme di indecisione o indeterminazione:
[tex]\frac{\infty}{\infty},\quad0^0,\quad1^\infty,\quad\frac{0}{0},\quad\infty-\infty,\quad0\cdot\infty,\quad\infty^0[/tex]
ed evidenzio il fatto che [tex]\infty^\infty=\infty[/tex] e [tex]0^\infty=0[/tex] non sono forme di indecisione anche se spesso vengono scambiate per tali per via della loro somiglianza formale con [tex]0^0[/tex] e [tex]\infty^0[/tex].
Giusto é come dici tu @friction, $1$ elevato infinito é una forma indeterminata , per cui bisogna effettuare le teasformazioni per avere una forma calcolabile, nel caso specifico la forma $(1+(1/x))^x)$.
Se avessi il seguente limite sempre per $x$ tendente ad infinito, di $((x^2+3)/(x+1))^x$, tale limite sarà infinito cioè $lim (x)^x$, o mi sbaglio?
Deduco che quando ho la forma $(f(x)/g(x))^x$ se i gradi dei due polinomi $f(x)$, e $g(x)$ sono diversi il limite sarà $0$ od infinito, mi sbaglio?
Il limite di napier è questo per caso $lim (1+(1/x))^x$ ?
Se avessi il seguente limite sempre per $x$ tendente ad infinito, di $((x^2+3)/(x+1))^x$, tale limite sarà infinito cioè $lim (x)^x$, o mi sbaglio?
Deduco che quando ho la forma $(f(x)/g(x))^x$ se i gradi dei due polinomi $f(x)$, e $g(x)$ sono diversi il limite sarà $0$ od infinito, mi sbaglio?
Il limite di napier è questo per caso $lim (1+(1/x))^x$ ?
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