Calcolo discriminante
Devo risolvere questa equazione fratta:
[1/(x^2-1)] + [1/x^2] + [1/(x^2+1)] = 1
Prendo tutti e tre i fattori per fare il m.c.m.
e arrivo a ciò:
x^2(x^2+1) + (x^4 - 1) + x^2(x^2 - 1) = x^2(x^4 - 1)
ed ottengo:
-x^6 + 3x^4 + x^2 - 1 = 0
ho provato ad utilizzare una variabile ausiliaria (t=x^2) ma ottengo questo trinomio:
t^3 - 3t^2 - t + 1 = 0
Che non riesco a fattorizzare.
Se riuscite a trovare un modo per risolverlo mi fate un piacere.
Grazie.
[1/(x^2-1)] + [1/x^2] + [1/(x^2+1)] = 1
Prendo tutti e tre i fattori per fare il m.c.m.
e arrivo a ciò:
x^2(x^2+1) + (x^4 - 1) + x^2(x^2 - 1) = x^2(x^4 - 1)
ed ottengo:
-x^6 + 3x^4 + x^2 - 1 = 0
ho provato ad utilizzare una variabile ausiliaria (t=x^2) ma ottengo questo trinomio:
t^3 - 3t^2 - t + 1 = 0
Che non riesco a fattorizzare.
Se riuscite a trovare un modo per risolverlo mi fate un piacere.
Grazie.
Risposte
Innanzitutto scrivila in questo modo
$1/(x^2-1)+1/x^2+1/(x^2+1)=1$
Calcoli il $m.c.m.$ ma non lo semplifichi finchè non fai le condizioni di esistenza in quanto è un'equazione fratta.
$1/(x^2-1)+1/x^2+1/(x^2+1)=1$
Calcoli il $m.c.m.$ ma non lo semplifichi finchè non fai le condizioni di esistenza in quanto è un'equazione fratta.
L'equazione è giusta:
\(\displaystyle f(x)=x^6-3x^4-x^2+1=0 \)
Le uniche,possibili soluzioni razionali ( intere) sono -1 e +1 , ovvero i divisori del termine noto. Ma esse non sono radici di
f(x) e se pure lo fossero andrebbero comunque scartate perché annullano uno dei denominatori dell'equazione iniziale.
Fra i due termini di egual segno \(\displaystyle -3x^4 ,-x^2 \) manca il temine in \(\displaystyle x^3 \) e quindi l'equazione ha due radici complesse coniugate. Inoltre risulta :
\(\displaystyle \begin{cases} f(-2)=13>0\\f(-1)=-2<0\\f(0)=1>0\\f(1)=-2<0\\f(2)=13>0 \end{cases}\)
Pertanto le altre 4 radici sono reali e comprese negli intervalli \(\displaystyle (-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2) \)
Poiché esse non sono razionali, possono essere trovate solo approssimandole con uno dei tanti metodi conosciuti.Per esempio con quello delle tangenti o di Newton. Tutto ciò resta confermato qualora si "grafichi" la f(x) con qualche programma ad hoc ( anche online).
\(\displaystyle f(x)=x^6-3x^4-x^2+1=0 \)
Le uniche,possibili soluzioni razionali ( intere) sono -1 e +1 , ovvero i divisori del termine noto. Ma esse non sono radici di
f(x) e se pure lo fossero andrebbero comunque scartate perché annullano uno dei denominatori dell'equazione iniziale.
Fra i due termini di egual segno \(\displaystyle -3x^4 ,-x^2 \) manca il temine in \(\displaystyle x^3 \) e quindi l'equazione ha due radici complesse coniugate. Inoltre risulta :
\(\displaystyle \begin{cases} f(-2)=13>0\\f(-1)=-2<0\\f(0)=1>0\\f(1)=-2<0\\f(2)=13>0 \end{cases}\)
Pertanto le altre 4 radici sono reali e comprese negli intervalli \(\displaystyle (-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2) \)
Poiché esse non sono razionali, possono essere trovate solo approssimandole con uno dei tanti metodi conosciuti.Per esempio con quello delle tangenti o di Newton. Tutto ciò resta confermato qualora si "grafichi" la f(x) con qualche programma ad hoc ( anche online).
Non nascondo la mia difficoltà nel lavorare con radici complesse, ma ora è un po' più chiaro. Grazie a entrambi.
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