Calcolo di un volume
Buonasera a tutti!
Mi sono imbattuto nel seguente problema (creato da me, per giunta!):
"Sia dato il quadrato $ABCD$ di lato $l$. Descrivere internamente ad esso dei quadranti circolari di centro $A$ e $C$, e raggi $l$ . Si calcoli il volume del solido ottenuto a seguito di una rotazione completa della parte di piano delimitata dai due archi, attorno al lato BC."
Ho provato ad utilizzare il Teorema di Guldino, in cui necessariamente devo conoscere il baricentro del "dominio piano" che deve ruotare (dopo aver riferito la figura ad un conveniente sistema di assi cartesiani). E' possibile che l'ordinata di tale baricentro sia $l/2$?
Quanto risulta a voi il volume in questione? A me, seguendo la strada che vi ho illustrato sopra, viene: $(pil^3(pi-2))/2$.
[Spero di aver descritto inequivocabilmente la situazione geometrica...]
Nell'attesa di vostre risposte, vi ringrazio anticipatamente.
Andrea
Mi sono imbattuto nel seguente problema (creato da me, per giunta!):
"Sia dato il quadrato $ABCD$ di lato $l$. Descrivere internamente ad esso dei quadranti circolari di centro $A$ e $C$, e raggi $l$ . Si calcoli il volume del solido ottenuto a seguito di una rotazione completa della parte di piano delimitata dai due archi, attorno al lato BC."
Ho provato ad utilizzare il Teorema di Guldino, in cui necessariamente devo conoscere il baricentro del "dominio piano" che deve ruotare (dopo aver riferito la figura ad un conveniente sistema di assi cartesiani). E' possibile che l'ordinata di tale baricentro sia $l/2$?
Quanto risulta a voi il volume in questione? A me, seguendo la strada che vi ho illustrato sopra, viene: $(pil^3(pi-2))/2$.
[Spero di aver descritto inequivocabilmente la situazione geometrica...]
Nell'attesa di vostre risposte, vi ringrazio anticipatamente.
Andrea
Risposte
se chiami $K$ il punto d'intersezione dei due archi, quale figura fai ruotare? forse $KBC$ ? oppure $AKD$ ? o la figura intrecciata $ACBD$ ? o quale altra?
Evidentemente non mi sono spiegato!
Allora:
Dato il quadrato $ABCD$, con centro sui vertici opposti $A$ e $C$, traccio due archi di circonferenza (interni al quadrato). Entrambi gli archi, essendo interni al quadrato passeranno per $B$ e per $D$.
[Mi sono accorto di aver scritto $D$ in luogo di $C$, vi chiedo scusa!]
Allora:
Dato il quadrato $ABCD$, con centro sui vertici opposti $A$ e $C$, traccio due archi di circonferenza (interni al quadrato). Entrambi gli archi, essendo interni al quadrato passeranno per $B$ e per $D$.
[Mi sono accorto di aver scritto $D$ in luogo di $C$, vi chiedo scusa!]
tu pensa che prima di leggere "per bene" avevo fatto il disegno giusto, poi l'ho cancellato ...
ovviamente la domanda rimane la stessa: "Si calcoli il volume del solido ottenuto a seguito di una rotazione completa della parte di piano delimitata dai due archi, attorno al lato BC" ?
così, ad occhio, non mi pare difficile: se prendi l'asse x coincidente con BC e l'asse y coincidente con BA, hai una differenza tra i volumi dei solidi ottenuti dalla rotazione dei due triangoli mistilinei $BCD$ (quello maggiore e quello minore), e quindi è molto più semplice calcolarlo con la formuletta che si studia al liceo e che qualche giorno fa ricordava @melia...
spero sia chiaro. ciao.
ovviamente la domanda rimane la stessa: "Si calcoli il volume del solido ottenuto a seguito di una rotazione completa della parte di piano delimitata dai due archi, attorno al lato BC" ?
così, ad occhio, non mi pare difficile: se prendi l'asse x coincidente con BC e l'asse y coincidente con BA, hai una differenza tra i volumi dei solidi ottenuti dalla rotazione dei due triangoli mistilinei $BCD$ (quello maggiore e quello minore), e quindi è molto più semplice calcolarlo con la formuletta che si studia al liceo e che qualche giorno fa ricordava @melia...
spero sia chiaro. ciao.
Ah ok! Questo era uno dei metodi a cui avevo pensato per giungere alla soluzione. Solo che volevo anche provare con il Teorema di Guldino. In ogni caso, vedrò se ottengo il medesimo risultato!
Vi faccio sapere! Grazie!
Vi faccio sapere! Grazie!
Ok. Con entrambi i metodi risulta $(pil^3(pi-2))/2$.
Vi ringrazio come sempre per gli utili suggerimenti.
Andrea
Vi ringrazio come sempre per gli utili suggerimenti.
Andrea
prego!
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