Calcolo di limite

[plum]

sul libro ho trovato il seguente esercizio:

[math]\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2+5x+4}{x^2-3x+7}\right)^x=[/math]

io l'ho svolto così:

[math]\lim_{x\to+\infty}\left(1+\left(\frac{x^2+5x+4}{x^2-3x+7}-1\right)\right)^x=[/math]

[math]\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{x^2+5x+4-x^2+3x-7}{x^2-3x+7}\right)^x=[/math]

[math]\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^x=[/math]

[math]\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{x-3+3}=[/math]

[math]\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{x-3}\times\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^3[/math]

[math]\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{\frac{x(x-3)}x}\times\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^3[/math]

[math]\lim_{x\to+\infty}\left[\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{x^2-3x}\right]^{\frac1x}\times\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^3[/math]

[math]\lim_{x\to+\infty}\left[\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{x^2-3x+7-7}\right]^{\frac1x}\times\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^3[/math]

[math]\lim_{x\to+\infty}\left[\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{x^2-3x+7}\times\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{-7}\right]^{\frac1x}\times\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^3[/math]

[math]\lim_{x\to+\infty}\left[\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{x^2-3x+7}\right]^{\frac1x}\times\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{-\frac7x}\times\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^3[/math]

[math]\lim_{x\to+\infty}\left[\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{(x^2-3x+7)\times\frac{8x-3}{8x-3}}\right]^{\frac1x}\times\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{-\frac7x}\times\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^3[/math]

[math]\lim_{x\to+\infty}\left[\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{\frac{x^2-3x+7}{8x-3}}\right]^{\frac{8x-3}x}\times\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{-\frac7x}\times\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^3[/math]

finalmente, sapendo che

[math]\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e[/math]

risulta

[math]\lim_{x\to+\infty}\left[\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{\frac{x^2-3x+7}{8x-3}}\right]^{\frac{8x-3}x}=e^{\frac{8x(1-\frac3{8x})}x=e^8[/math]

[math]\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{-\frac7x}=(1+\frac1{\infty})^{\frac{-7}{\infty}}=(1+0)^0=1[/math]

[math]\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^3=(1+\frac1{\infty})^3=(1+0)^3=1[/math]

visto che un procedimento così complesso mi sembra abbastanza assurdo, che metodo si potrebbe usare in alternativa?

.

[IPPLALA]

plum t aiuterei volentieri ma il prof ha spiegato questo argomento questi giorni in cui sn stata male e non ho la spiegazione...

[plum]

ok, grazie lo stesso. comunque non è urgente, se in futuro recupererai gli argomenti posta pure:)

[IPPLALA]

Si, sicuramente!!

cmq è veramente strano il tuo procedimento...

...ma sei sicuro che nell'argomento del limite non puoi scomporre i polinomi e semplificare qualcosa?!

[Cherubino]

Io l'avrei fatto così:
per x che tende all'infinito i termini numerici del numeratore e del denominatore sono trascurabili;

rimane

[math] \left( \frac{x^2 + 5x}{ x^2 -3x}\right)^x[/math]

che diventa

[math] \left( 1 + \frac {8}{ x-3}\right)^x[/math]

il cui limite per x->+inf è e^8.

Ora, non so quanti professori di mate fiscali accetterebbero un simile procedimento (in gergo si dice che i fisici trattano la matematica come una prostituta).
I tuoi passaggi mostrano esplicitamente che i termini numerici che ho trascurato sono effettivamente trascurabili.

[IPPLALA]

Sai che non ho capito come hai fatto?!

[Cherubino]

Ho semplicemente trascurato i fattori + 4 al numeratore e -7 al denominatore, perché per x che tende all'infinito sono trascurabili.

Poi, ho semplificato la x al numeratore a denominatore.
Poi, ho aggiunto +3 e -3 al numeratore e ho raccolto in maniera tale da fare semplificare (x-3)/(x-3),
così è rimasto quel limite, che è un limite noto.

[plum]

IPPLALA:
Si, sicuramente!!

cmq è veramente strano il tuo procedimento...

...ma sei sicuro che nell'argomento del limite non puoi scomporre i polinomi e semplificare qualcosa?!

no, non si riesce a scomporre

@cherubino: la mia prof non accetterebbe mai una cosa simile:)

[Cherubino]

plum:
@cherubino: la mia prof non accetterebbe mai una cosa simile:)

Se le piace complicarsi la vita sono affari suoi ...

[plum]

ah, questi fisici... approssimano sempre tutto, non fanno mai le cose precise...

[Cherubino]

Chiaro: è evidente che quei termini numerici non contano un caco per x grandi...

[plum]

ma neanche x non vale nulla in confronto a x^2, per x molto grandi... allora perchè non semplificare anche quella?

[Cherubino]

Invece no, è questo il punto!
x è una variabile, cresce, un numero è costante.
E soprattutto, è tutto elevato alla x, quindi piccole differenze tra il num e il denum vengono "amplificate".

Se però semplifichi, ti viene che tende ad uno, che in alcuni casi è una buona approssimazione di e^8 :lol

Tra l'altro, sarei curioso di sentire la reazione di Ciampax a proposito dei miei passaggi azzardati..

[plum]

Cherubino:
Se però semplifichi, ti viene che tende ad uno, che in alcuni casi è una buona approssimazione di e^8 :lol

:lol:lol
no comment!:drop

cmq hai visto il thread di maghy2? forse ti è sfuggito...