Calcolo della derivata
Ho questa derivata prima di cui devo calcolare la derivata seconda:
$y'=(x^2-1)/[(x^3-3x)^(2/3)]$
Facendo i calcoli (e sperando di non aver sbagliato) ho trovato
$y''=2x*(x^3-3x)^2 - (x^2-1)*(2x^2-2)*(x^3-3x)^4$
È giusta?
Sperando che sia giusta ho provato a calcolare il segno ma mi vengono calcoli molto complicati con anche $x^10$...come potrei procedere? L'unico modo è fare tutti questi calcoli e porli maggiori di zero?
Grazie
$y'=(x^2-1)/[(x^3-3x)^(2/3)]$
Facendo i calcoli (e sperando di non aver sbagliato) ho trovato
$y''=2x*(x^3-3x)^2 - (x^2-1)*(2x^2-2)*(x^3-3x)^4$
È giusta?
Sperando che sia giusta ho provato a calcolare il segno ma mi vengono calcoli molto complicati con anche $x^10$...come potrei procedere? L'unico modo è fare tutti questi calcoli e porli maggiori di zero?
Grazie
Risposte
Non si capisce, in realtà, come tu sia arrivato a quel risultato che poco ci azzecca con la derivata che devi calcolare tu.
Hai la funzione $f(x)=(\alpha(x))/(\beta(x))$
nel tuo caso
$\alpha(x)=x^2-1$
$\beta(x)=(x^3-3x)^(2/3)$
Naturalmente per la regola di derivazione del rapporto (che poi è lo stesso del prodotto) in generale hai che:
$f'(x)=(\alpha'(x)*\beta(x)-\beta'(x)*\alpha(x))/[\beta(x)]^2$
Almeno all'inizio procedi in ordine e con metodo.
Calcola per ordine le derivate, e poi metti tutto assieme.
$\alpha'(x)=D[x^2-1]=2x$
$\beta'(x)=D[(x^3-3x)^(2/3)]=2/3*(3*x^2-3)*(x^3-3x)^(2/3-1)=2*(x^2-1)*(x^3-3x)^(-1/3)$
A questo punto sostituisci nella formula:
$f'(x)=y''=(\alpha'(x)*\beta(x)-\beta'(x)*\alpha(x))/[\beta(x)]^2=[(2x)*(x^3-3x)^(2/3)-(2*(x^2-1)*(x^3-3x)^(-1/3))*(x^2-1)]/[(x^3-3x)^(2/3)]^2$
Per ottenere una forma più spendibile (in un eventuale studio di funzione) della derivata seconda devi moltiplicare sopra e sotto per $(x^3-3x)^(1/3)$
L'algebretta la lascio a te per questa volta.
Hai la funzione $f(x)=(\alpha(x))/(\beta(x))$
nel tuo caso
$\alpha(x)=x^2-1$
$\beta(x)=(x^3-3x)^(2/3)$
Naturalmente per la regola di derivazione del rapporto (che poi è lo stesso del prodotto) in generale hai che:
$f'(x)=(\alpha'(x)*\beta(x)-\beta'(x)*\alpha(x))/[\beta(x)]^2$
Almeno all'inizio procedi in ordine e con metodo.
Calcola per ordine le derivate, e poi metti tutto assieme.
$\alpha'(x)=D[x^2-1]=2x$
$\beta'(x)=D[(x^3-3x)^(2/3)]=2/3*(3*x^2-3)*(x^3-3x)^(2/3-1)=2*(x^2-1)*(x^3-3x)^(-1/3)$
A questo punto sostituisci nella formula:
$f'(x)=y''=(\alpha'(x)*\beta(x)-\beta'(x)*\alpha(x))/[\beta(x)]^2=[(2x)*(x^3-3x)^(2/3)-(2*(x^2-1)*(x^3-3x)^(-1/3))*(x^2-1)]/[(x^3-3x)^(2/3)]^2$
Per ottenere una forma più spendibile (in un eventuale studio di funzione) della derivata seconda devi moltiplicare sopra e sotto per $(x^3-3x)^(1/3)$
L'algebretta la lascio a te per questa volta.
Allora la mia derivata è corretta...ho solo raccolto la radice
No non è giusta. Stavo per mandarti i passaggi algebrici ma il messsaggio è andato perso nel momento in cui ho premuto invia per problemi di connessione e adesso per riscriverli mi ci vorrebbe un altro quarto d'ora. Il concetto non cambia. Quello che hai scritto tu non è la derivata corretta della funzione.
Da quella che hai scritto tu sopra rispetto ai passaggi cartacei che ho fatto mi cambia solo che tu moltiplichi per $2$ io invece per $2/3$...dove sbaglio?
Il fatto che non ci siano esponenti razionali ci lascia perplessi (io e @Sir) … a me viene diversa dalla tua ma dovrei ricontrollare per bene e non ho tempo …
La derivata seconda è questa $-(2(x^2+1))/((x^3-3x)^(5/3))$
Non mi pare proprio che dalla tua si riesca a giungere a questa …
Non mi pare proprio che dalla tua si riesca a giungere a questa …
Hai messo a parole il mio pensiero @axpgn.
Om grazie mille... rifarò i conti
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