Calcolo dei limiti per x tendente a infinito

[KatieP]

Sapendo che il calcolo del limiti di una funzione continua in un punto x0 si svolge sostituendo il valore x0 all'interno della funzione e che ciò ha senso se si considera il limite per x tendente ad x0, mi chiedo: è possibile calcolare il limite di una funzione per x tendente ad infinito adoperando lo stesso metodo? E cioè andando a sostituire infinito al posto della variabile indipendente di una funzione (sia essa un polinomio, un rapporto fra polinomi ecc)? Ovviamente, quello che si ottiene è una forma indeterminata, da risolvere in altro modo, ma vorrei sapere se è formalmente corretto operare dei calcoli con infinito come se avessi a che fare con dei numeri reali. Grazie.

[kobeilprofeta]

Beh provo a dirtela così:
Ho $lim_{x to +infty} x^2$ devo vedere cosa succede quando mi avvicino a $+infty$. Non posso sostituire direttamente $+infty$ nella funzione, allora prendo numeri sempre più grandi $f(100)=10^4$, $f(10^23)=10^46$, ... e concludo che fa più infinito... Ma non posso sostituirlo direttamente.
Ricorda però che non sempre puoi fare anche questo con $x_0$... infatti spesso calcolo $lim_{x to x_0} f(x)$ perchè $f$ non è definita in $x_0$ e voglio vedere cosa succede se mi avvicino, ma sarebbe sbagliato pensare di sostituire $x_0$ alla $x$, proprio perchè non ha senso. Esempio $f(x)=k/x_0$.

[nakai1]

La tua domanda ha senso se le operazioni che ottieni non danno origine a forme di indeterminazione. Ti faccio questo esempio:
Calcoliamo il seguente limite:
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \). In questo caso se sostituiamo al posto della variabile \(\displaystyle +\infty \)
otteniamo \(\displaystyle \frac{1}{+\infty} \) la quale non è una forma di indeterminazione dato che \(\displaystyle \frac{1}{+\infty}=0 \).