Calcolo combinatorio - Cavalieri della Tavola Rotonda
Ciao a tutti, non riesco a risolvere questo problema.
I cavalieri della tavola rotonda in origine erano 10. Dopo una dura battaglia e sono rimasti soltanto 4; per giunta, hanno litigato tra di loro e si rifiutano di sedersi vicini (fortuna che 6 posti sono rimasti liberi..). In quanti modi possono sedersi a tavola?
Soluzione:
Spiegazione: ???
Non riesco a capire come usare i posti vuoti alternati. Disposizioni, permutazioni o combinazioni, con o senza ripetizione?
I cavalieri della tavola rotonda in origine erano 10. Dopo una dura battaglia e sono rimasti soltanto 4; per giunta, hanno litigato tra di loro e si rifiutano di sedersi vicini (fortuna che 6 posti sono rimasti liberi..). In quanti modi possono sedersi a tavola?
Soluzione:
[math]6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3[/math]
Spiegazione: ???
Non riesco a capire come usare i posti vuoti alternati. Disposizioni, permutazioni o combinazioni, con o senza ripetizione?
Risposte
Io ho trovato 3 soluzioni;
1 - Fai sedere i 4 cavaliere alternando una sedia libera ad una col cavaliere.
2 - Li fai sedere alternando così le sedie ( c= con cavaliere, v =vuota) cvvcvcvcvv
3 - Oppure in quest'altro modo: cvvcvvcvcv
1 - Fai sedere i 4 cavaliere alternando una sedia libera ad una col cavaliere.
2 - Li fai sedere alternando così le sedie ( c= con cavaliere, v =vuota) cvvcvcvcvv
3 - Oppure in quest'altro modo: cvvcvvcvcv
Io non capisco il fattore 5, gli altri numeri mi tornano.
Ho ragionato cosi`:
Siano A,B,C,D i quattro cavalieri
se ci sono solo 4 posti a tavola (non consideriamo per il momento i posti liberi) si possono disporre solo in 3 modi:
1 --- A di fronte a B, a destra e sinistra C e D (considero equivalenti le disposizioni con C a sinistra e D a destra e viceversa)
2--- A di fronte a C, a destra e sin. B e D
3--- A di fronte a D, a destra e sin. B e C
Ora, per ognuna di queste disposizioni mettiamo le sedie vuote.
Ci deve essere almeno una sedia vuota tra due cavalieri, quindi 4 sedie sono sistemate.
Ne restano da sistemare due.
Ci sono due possibilita`: le mettiamo entrambe nello stesso intervallo (cosi` ci saranno due cavalieri separati da tre sedie vuote, tutte le altre coppie sono separati da una sola) e questo lo possiamo fare in 4 modi diversi.
Oppure mettiamo le due sedie in due intervalli diversi, e questo lo possiamo fare in sei modi diversi.
Totale: 6 * 4 * 3 disposizioni.
Ho ragionato cosi`:
Siano A,B,C,D i quattro cavalieri
se ci sono solo 4 posti a tavola (non consideriamo per il momento i posti liberi) si possono disporre solo in 3 modi:
1 --- A di fronte a B, a destra e sinistra C e D (considero equivalenti le disposizioni con C a sinistra e D a destra e viceversa)
2--- A di fronte a C, a destra e sin. B e D
3--- A di fronte a D, a destra e sin. B e C
Ora, per ognuna di queste disposizioni mettiamo le sedie vuote.
Ci deve essere almeno una sedia vuota tra due cavalieri, quindi 4 sedie sono sistemate.
Ne restano da sistemare due.
Ci sono due possibilita`: le mettiamo entrambe nello stesso intervallo (cosi` ci saranno due cavalieri separati da tre sedie vuote, tutte le altre coppie sono separati da una sola) e questo lo possiamo fare in 4 modi diversi.
Oppure mettiamo le due sedie in due intervalli diversi, e questo lo possiamo fare in sei modi diversi.
Totale: 6 * 4 * 3 disposizioni.
Ma essendo le sedie negli intervalli diversi, alla fine la disposizione non è oggettivamente simile? La tavola è rotonda, quindi se non diamo i nomi ai cavalieri le possibilità dimezzano.
Grazie a tutti delle risposte.
@giorgiaselva: mi potresti fare, per favore, un esempio con i calcoli?
@mc2: riesco a seguire il ragionamento, ma il totale è poco:
Mentre ragionando nel seguente modo sono riuscito ad ottenere 240 (che però non è ancora abbastanza :p )
Numerando le sedie da 1 a 10, considero le disposizioni dei 4 cavalieri che si siedono nei soli posti dispari:
1 3 5 7 9
Poi ho considerato i posti pari:
2 4 6 8 10
Essendo ovviamente uguali a sopra, ho moltiplicato per 2:
Ma
e quindi mi mancano altri 120 posti che fanno parte delle altre disposizioni che non ho considerato, tipo:
1 3 5 8
o
1 3 6 9
Però non ho idea di come calcolarli ... :-/
Aggiunto 31 minuti più tardi:
Sempre avendo numerato le sedie da 1 a 10 prendo solo le 4 sedie col seguente numero (dove ci sono gli spazi bianchi significa che considero lo stesso numero scritto sopra):
(P.S. Scusate, quando ho pubblicato sono stati automaticamente tolti gli spazi. Considerate la cifra singola incolonnata con la quarta.)
1 3 5 7
8
9
1 3 6 8
9
1 3 7 9
1 4 6 8
9
1 4 7 9
1 5 7 9
2 4 6 8
9
10
2 4 7 9
10
2 4 8 10
2 5 7 9
10
2 5 8 10
2 6 8 10
Ci sono quindi 20 modi diversi di impegnare le 4 sedie. Per ogni modo posso calcolare la permutazione dei 4 soldati sulle 4 sedie:
A questo punto, però, mi troverei con:
Che sono più del previsto. Ma dov'è l'errore?
Aggiunto 55 minuti più tardi:
Considerando poi anche:
3 5 7 9
3 5 7 10
3 5 8 10
3 6 8 10
4 6 8 10
Sono
Queste ora mi sembrano davvero tutte le possibilità. Ma l'esercizio dà come soluzione
@giorgiaselva: mi potresti fare, per favore, un esempio con i calcoli?
@mc2: riesco a seguire il ragionamento, ma il totale è poco:
[math]6 \cdot 4 \cdot 3 = 72[/math]
Mentre ragionando nel seguente modo sono riuscito ad ottenere 240 (che però non è ancora abbastanza :p )
Numerando le sedie da 1 a 10, considero le disposizioni dei 4 cavalieri che si siedono nei soli posti dispari:
1 3 5 7 9
[math]D_{5,4} = 5!/(5-4)! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2[/math]
Poi ho considerato i posti pari:
2 4 6 8 10
Essendo ovviamente uguali a sopra, ho moltiplicato per 2:
[math]2 \cdot D5,4 = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 240[/math]
Ma
[math]240 = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 2[/math]
e quindi mi mancano altri 120 posti che fanno parte delle altre disposizioni che non ho considerato, tipo:
1 3 5 8
o
1 3 6 9
Però non ho idea di come calcolarli ... :-/
Aggiunto 31 minuti più tardi:
Sempre avendo numerato le sedie da 1 a 10 prendo solo le 4 sedie col seguente numero (dove ci sono gli spazi bianchi significa che considero lo stesso numero scritto sopra):
(P.S. Scusate, quando ho pubblicato sono stati automaticamente tolti gli spazi. Considerate la cifra singola incolonnata con la quarta.)
1 3 5 7
8
9
1 3 6 8
9
1 3 7 9
1 4 6 8
9
1 4 7 9
1 5 7 9
2 4 6 8
9
10
2 4 7 9
10
2 4 8 10
2 5 7 9
10
2 5 8 10
2 6 8 10
Ci sono quindi 20 modi diversi di impegnare le 4 sedie. Per ogni modo posso calcolare la permutazione dei 4 soldati sulle 4 sedie:
[math]P_4=4!=24[/math]
A questo punto, però, mi troverei con:
[math]20 \cdot 24 = 480[/math]
Che sono più del previsto. Ma dov'è l'errore?
Aggiunto 55 minuti più tardi:
Considerando poi anche:
3 5 7 9
3 5 7 10
3 5 8 10
3 6 8 10
4 6 8 10
Sono
[math]25 \cdot 24 = 600[/math]
Queste ora mi sembrano davvero tutte le possibilità. Ma l'esercizio dà come soluzione
[math]6\cdot5\cdot4\cdot3[/math]
Ciao,nel mio ragionamento c 'e un errore.Adesso non riesco a spiegarlo con calma, ma il risultato viene anche a me 600. Lunedì.ne riparliamo
Ciao mc2,
forse le disposizioni con C a sinistra e D a destra e viceversa non sono equivalenti?
Nel frattempo ho fatto una similitudine tra le due seguenti serie:
1 3 5 7 --- 1 2 3 4
1 3 5 8 --- 1 2 3 5
1 3 5 9 --- 1 2 3 6
1 3 6 8 --- 1 2 4 5
1 3 6 9 --- 1 2 4 6
1 4 6 8 --- 1 3 4 5
1 4 6 9 --- 1 3 4 6
1 4 7 9 --- 1 3 5 6
1 5 7 9 --- 1 4 5 6
In pratica, sistemando il primo cavaliere nella sedia numero 1, rimangono:
Sistemando quindi il primo cavaliere in ciascuna delle altre 9 sedie, si ottiene che il totale è:
Comunque se anche a te viene 600 probabilmente è giusto così.
Sono curioso di conoscere il tuo ragionamento. Grazie e buon fine settimana! :)
forse le disposizioni con C a sinistra e D a destra e viceversa non sono equivalenti?
Nel frattempo ho fatto una similitudine tra le due seguenti serie:
1 3 5 7 --- 1 2 3 4
1 3 5 8 --- 1 2 3 5
1 3 5 9 --- 1 2 3 6
1 3 6 8 --- 1 2 4 5
1 3 6 9 --- 1 2 4 6
1 4 6 8 --- 1 3 4 5
1 4 6 9 --- 1 3 4 6
1 4 7 9 --- 1 3 5 6
1 5 7 9 --- 1 4 5 6
In pratica, sistemando il primo cavaliere nella sedia numero 1, rimangono:
[math]D_{5,3} = \frac{ 5! }{ (5-3)! } = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60[/math]
Sistemando quindi il primo cavaliere in ciascuna delle altre 9 sedie, si ottiene che il totale è:
[math]10 \cdot D_{5,3} = 10 \cdot 60 = 600[/math]
Comunque se anche a te viene 600 probabilmente è giusto così.
Sono curioso di conoscere il tuo ragionamento. Grazie e buon fine settimana! :)
Ciao, eccomi qua.
Come dicevo, nel mio ragionamento c'era un errore: dopo aver sistemato i 4 cavalieri (sul fatto di considerare C a sinistra e D a destra o viceversa come equivalenti, per il momento, sorvolo), bisogna sistemare le 6 sedie vuote.
Ci deve essere almeno una sedia vuota tra due cavalieri, quindi 4 sedie sono sistemate.
Ne restano da sistemare due.
Ci sono due possibilita`: le mettiamo entrambe nello stesso intervallo (cosi` ci saranno due cavalieri separati da tre sedie vuote, tutte le altre coppie sono separati da una sola) e questo lo possiamo fare in 4 modi diversi.
Oppure mettiamo le due sedie in due intervalli diversi, e questo lo possiamo fare in sei modi diversi.
L'errore e` stato di moltiplicare 6*4: essendo i due tipi di configurazione mutuamente esclusivi, bisogna sommare: 6+4=10.
Complessivamente quindi abbiamo 10 modi di sistemare le 6 sedie vuote tra i 4 cavalieri (con almeno una sedia tra ogni due cavalieri).
Ora: A si puo` sedere in ciascuna delle 10 sedie della tavola rotonda, quindi moltiplichiamo per 10.
Ma allora diventa naturale considerare diverse le configurazioni con C a destra e D a sinistra e viceversa: altro fattore 6 (invece che 3).
In totale 600 configurazioni.
Al risultato 360 non sono riuscita ad arrivare in nessun modo, e dire che ho provato perfino a metterci anche Re Artu'
Come dicevo, nel mio ragionamento c'era un errore: dopo aver sistemato i 4 cavalieri (sul fatto di considerare C a sinistra e D a destra o viceversa come equivalenti, per il momento, sorvolo), bisogna sistemare le 6 sedie vuote.
Ci deve essere almeno una sedia vuota tra due cavalieri, quindi 4 sedie sono sistemate.
Ne restano da sistemare due.
Ci sono due possibilita`: le mettiamo entrambe nello stesso intervallo (cosi` ci saranno due cavalieri separati da tre sedie vuote, tutte le altre coppie sono separati da una sola) e questo lo possiamo fare in 4 modi diversi.
Oppure mettiamo le due sedie in due intervalli diversi, e questo lo possiamo fare in sei modi diversi.
L'errore e` stato di moltiplicare 6*4: essendo i due tipi di configurazione mutuamente esclusivi, bisogna sommare: 6+4=10.
Complessivamente quindi abbiamo 10 modi di sistemare le 6 sedie vuote tra i 4 cavalieri (con almeno una sedia tra ogni due cavalieri).
Ora: A si puo` sedere in ciascuna delle 10 sedie della tavola rotonda, quindi moltiplichiamo per 10.
Ma allora diventa naturale considerare diverse le configurazioni con C a destra e D a sinistra e viceversa: altro fattore 6 (invece che 3).
In totale 600 configurazioni.
Al risultato 360 non sono riuscita ad arrivare in nessun modo, e dire che ho provato perfino a metterci anche Re Artu'
Bene, se siamo giunti al medesimo risultato, credo proprio che sia così.
600 disposizioni, tra l'altro, sono più di quelle della soluzione, quindi sicuramente non abbiamo saltato nulla... neanche Re Artù :-D
Grazie e ciao!
600 disposizioni, tra l'altro, sono più di quelle della soluzione, quindi sicuramente non abbiamo saltato nulla... neanche Re Artù :-D
Grazie e ciao!
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