Calcoli integrali indefiniti di funzioni composte

[newyork32]

Buonasera, mi trovo di fronte a due integrali da dover calcolare, nello specifico:

a: $ \int cos^2(x/2) dx $

b: $ \int (x^2 - 2)/(x^2+1) dx $

Nel primo caso immagino debba applicare la formula $ \int f'(x) * cos(f(x)) dx = sin f(x) + c $, ma mi perdo nei calcoli, il risultato fornito è $ 1/2x + 1/2sin(x) + c $

Nella seconda non capisco nemmeno quale sia la formula da applicare, qualcuno può aiutarmi? Grazie in anticipo

[@melia]

Nel primo osservi che $cos^2(x/2)= (1+cosx)/2$ è la formula di bisezione del coseno, vai a sostiutire dentro all'integrale e ... sono praticamente immediati
$ \int cos^2(x/2) dx = \int (1+cosx)/2 dx= 1/2* \int (1+cosx) dx= ...$

Nel secondo integrale $ \int (x^2 - 2)/(x^2+1) dx $ c'è una divisione da fare perché il grado del numeratore è uguale a quello del denominatore, ma si può evitare con un piccolo stratagemma:
$(x^2 - 2)/(x^2+1)=(x^2 +1-1- 2)/(x^2+1)=(x^2 +1)/(x^2+1)+( - 3)/(x^2+1)= 1-3/(x^2+1)$
$ \int (x^2 - 2)/(x^2+1) dx = \int (1-3/(x^2+1)) dx= \int 1 dx +\int -3/(x^2+1) dx = \int 1 dx -3\int 1/(x^2+1) dx= ...$ e adesso hai davanti due integrali immediati

[newyork32]

Grazie mille! Sì adesso si concludono così:

a: $ 1/2(x+sin(x)) + c = 1/2x + 1/2sin(x) + c $

b: $ x - 3arctan(x) + c $

[teorema55]

"newyork32":
b: $ x - 3arctan(x) + c $

A me risulta

$x-3/tanx +k=x-3cotx +k$

[orsoulx]

"teorema55":A me risulta...

Secondo me ti risulta male. Prova a derivare quanto ottieni.
Probabilmente hai scambiato una funzione inversa col reciproco della funzione.
Ciao

[teorema55]

Ostregheta, te gh'è propi rasun

Ciao, alla prossima (c.........ata)