Calcolare polinomio di Taylor

[alessre]

Ciao,
ho bisogno del vostro aiuto con questo esercizio.
grazie :-)

[mc2]

Sviluppo di Taylor per F(x):

[math]F(x)=F(x_0)+\left[\frac{dF}{dx}\right]_{x=x_0}(x-x_0)+\frac{1}{2}\left[\frac{d^2F}{dx^2}\right]_{x=x_0}(x-x_0)^2+
\frac{1}{6}\left[\frac{d^3F}{dx^3}\right]_{x=x_0}(x-x_0)^3+\dots
[/math]

Calcoliamo le derivate di F:

[math]F(x)=e^x\int_1^xe^{-t}\cos(t^3+1)dt\\
\frac{dF}{dx}=e^x\int_1^xe^{-t}\cos(t^3+1)dt+e^xe^{-x}\cos(x^3+1)=F(x)+\cos(x^3+1)\\
\frac{d^2F}{dx^2}=\frac{dF}{dx}-3x^2\sin(x^3+1)=F(x)+\cos(x^3+1)-3x^2\sin(x^3+1)\\
\frac{d^3F}{dx^3}=\frac{dF}{dx}-3x^2\sin(x^3+1)-6x\sin(x^3+1)-9x^4\cos(x^3+1)=\\
=F(x)+\cos(x^3+1)-3x^2\sin(x^3+1)-6x\sin(x^3+1)-9x^4\cos(x^3+1)
[/math]

Nel punto x_0=1:

[math]F(1)=e^1\int_1^1e^{-t}\cos(t^3+1)dt=0\\
\left[\frac{dF}{dx}\right]_{x=1}=\cos 2\\
\left[\frac{d^2F}{dx^2}\right]_{x=1}=\cos 2-3\sin 2\\
\left[\frac{d^3F}{dx^3}\right]_{x=1}=\cos 2-3\sin 2-6\sin 2-9 \cos 2
=-9\sin 2-8\cos 2
[/math]

quindi

[math]F(x)=(\cos 2)(x-1)+\frac{\cos 2-3\sin 2}{2}(x-1)^2-\frac{9\sin 2+8\cos 2}{6}(x-1)^3+\dots[/math]

[alessre]

Ciao grazie.
mi sapresti dire dove posso trovare la teoria sullo sviluppo di taylor.
grazie.

[mc2]

su un qualunque libro di analisi matematica.
Oppure cerca tra gli appunti online di questo sito, ne troverai di tutti i tipi e per tutti i livelli.

Aggiunto 1 ora 30 minuti più tardi:

Nel calcolo precedente avevo fatto un errore. Ora l'ho corretto e spero che sia tutto giusto.

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