Bo, sembrava facile...

[Marco881]

Ciao raga!

Mi sembrava facile ma alla fine mi son ritrovato in un sentiero interrotto:o....

Un triangolo ha un lato di misura a ed ha uno degli angoli adiacenti a esso che è uguale al doppio dell'altro. Calcolare quest'ultimo sapendo che la misura dell'aria del triangolo è (a²sqrt3)/8.


Grazie grazie, sono curiso di vedere come lo farete, grazie ancora;)


Marco

[iteuler]

        pi-3@
          /\
         /  \  
    b   /    \ 
       /      \
      /        \ 
   2@/__________\@
          a

per il teorema dei seni b/sin@=a/sin(pi-3@) --> b/sin@=a/sin3@ ovvero b=a/(3(cos@)^2-(sin@)^2) [basta svolgere sin3@ come sin(2@+@)]
Ora, dato che in un triangolo l' area è data dal semiprodotto di due lati consecutivi per l' angolo compreso ab*sin2@=a²sqrt3/4 --> sin2@/(3(cos@)^2-(sin@)^2)=sqrt3/4
svolgendo qualche calcolo si ottiene 3cos@/(2sin@)-sin@/(2cos@)=4/sqrt3 --> sqrt3*(tan@)^2+8tan@-3sqrt3=0
una soluzione si scarta perchè negativa e rimane tan@=sqrt[3]/3 --> @=pi/6 -->2@=pi/3

(risultato prevedibilissimo d' altronde,non a caso tutti i problemi in cui compare sqrt3 ammettono come soluzione pi/3 o pi/6, questa è una legge non scritta della trigonometria, almeno di quella che si fa al liceo)

[MaMo2]

Chiamiamo AB il lato di lunghezza a e CH l'altezza relativa a questo lato.
Si ha : CH = 2*A/a = sqrt(3)a/4.
Indichiamo con x l'angolo BAC e con 2x l'anglolo ABC.
Dal triangolo rettangolo ACH si ha:
AH = sqrt(3)*a*cotgx/4
Dal triangolo rettangolo BCH si ha:
BH = sqrt(3)*a*cotg(2x)/4
Si può scrivere l'uguaglianza:
AB = a = AH + BH = sqrt(3)*a[cotgx + cotg(2x)]/4
Semplificando si ottiene l'equazione:
3sqrt(3)cotg^2x - 8cotgx - sqrt(3) = 0
L'unica soluzione positiva (essendo x < 60°) è cotgx = sqrt(3)
Da questa si ottiene x = BAC = 30° e 2x = ABC = 60°.