Binomio di Newton e calcolo combinatorio
Determinare i coefficienti di $x^10$ e $x^13$ in $(2x-3x^2)^8$.
So che bisogna utilizzare la formula del binomio di Newton, ma non riesco a capire come utilizzarla in questo caso. Mi arrovello per capire, ma non ci riesco!
Poi ho un altro problema riguardante calcolo combinatorio:
Date due rette parallele a e b e 20 punti A1,A2,…A20 su a , e 12 punti B1,B2…B12 su b, determinare il numero di triangoli che è possibile formare:
- con due punti su a ed un punto su b
- con due punti su b ed un punto su a
Qui invece non riesco a capire se devo usare combinazione, disposizione… cioè la logica e il motivo di scegliere ad esempio combinazione invece di disposizione. Se qualcuno riuscisse a spiegarmi in modo semplice e chiaro gliene sarei grato.
Ciao.
So che bisogna utilizzare la formula del binomio di Newton, ma non riesco a capire come utilizzarla in questo caso. Mi arrovello per capire, ma non ci riesco!
Poi ho un altro problema riguardante calcolo combinatorio:
Date due rette parallele a e b e 20 punti A1,A2,…A20 su a , e 12 punti B1,B2…B12 su b, determinare il numero di triangoli che è possibile formare:
- con due punti su a ed un punto su b
- con due punti su b ed un punto su a
Qui invece non riesco a capire se devo usare combinazione, disposizione… cioè la logica e il motivo di scegliere ad esempio combinazione invece di disposizione. Se qualcuno riuscisse a spiegarmi in modo semplice e chiaro gliene sarei grato.
Ciao.
Risposte
Per il secondo punto:
- con due punti su A ed un punto su B, sono $((20),(2))*12$ cioè le disposizioni semplici dei punti di A per tutti i punti di B.
Questo perchè per fare un triangolo con due punti su A, si devono prendere i punti a due a due da un gruppo di 20 elementi. Questi punti devono avere due condizioni: devono essere diversi tra loro (senza ripetizione), non conta l'ordine (combinazioni), perchè il triangolo PQR è uguale al triangolo PRQ.
- stesso discorso per due punti su B e uno su A: $((12),(2))*20$
Spero di aver scritto correttamente le formule, ma non posso vederlo da qui.
- con due punti su A ed un punto su B, sono $((20),(2))*12$ cioè le disposizioni semplici dei punti di A per tutti i punti di B.
Questo perchè per fare un triangolo con due punti su A, si devono prendere i punti a due a due da un gruppo di 20 elementi. Questi punti devono avere due condizioni: devono essere diversi tra loro (senza ripetizione), non conta l'ordine (combinazioni), perchè il triangolo PQR è uguale al triangolo PRQ.
- stesso discorso per due punti su B e uno su A: $((12),(2))*20$
Spero di aver scritto correttamente le formule, ma non posso vederlo da qui.
Primo punto:
partiamo dalla formula del binomio di Newton:
$sum_(i=0)^n((n),(i))(a^i)*(b)^(n-i)$
Che nel caso specifico diventa:
$sum_(i=0)^8((8),(i))(2x)^i*(-3x^2)^(8-i)$
Quindi, il grado di ogni addendo sarà dato da:
$i+2(8-i)$
Ora, poniamo questa quantità uguale a 10 e a 13, e otterremo il valore di $i$ da sostituire nella seconda formula per ottenere ciò che ci serve.
Ovvero:
$i+2(8-i)=10$
$i=6$
E
$i+2(8-i)=13$
$i=3$
Da cui risulta:
$((8),(6))(2x)^6*(-3x^2)^(8-6)=16128$
E
$((8),(3))(2x)^3*(-3x^2)^(8-3)=-108864$
Anche qui, spero di aver scritto giuste le formule, ma potrò controllarle solo stasera...
partiamo dalla formula del binomio di Newton:
$sum_(i=0)^n((n),(i))(a^i)*(b)^(n-i)$
Che nel caso specifico diventa:
$sum_(i=0)^8((8),(i))(2x)^i*(-3x^2)^(8-i)$
Quindi, il grado di ogni addendo sarà dato da:
$i+2(8-i)$
Ora, poniamo questa quantità uguale a 10 e a 13, e otterremo il valore di $i$ da sostituire nella seconda formula per ottenere ciò che ci serve.
Ovvero:
$i+2(8-i)=10$
$i=6$
E
$i+2(8-i)=13$
$i=3$
Da cui risulta:
$((8),(6))(2x)^6*(-3x^2)^(8-6)=16128$
E
$((8),(3))(2x)^3*(-3x^2)^(8-3)=-108864$
Anche qui, spero di aver scritto giuste le formule, ma potrò controllarle solo stasera...
Grazie per l'aiuto: ho capito tutto.
Nel primo punto però il coefficiente di $x^13$ mi viene -10752 e non -108864: ho sbagliato qualcosa nel calcolo?
Nel primo punto però il coefficiente di $x^13$ mi viene -10752 e non -108864: ho sbagliato qualcosa nel calcolo?
$(8*7*6)/(3*2*1)2^3*(-3)^5=-108864$
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