Asse di un segmento
Esercizio 1
Scrivere l'equazione dell'asse del segmento $ AB $ , date le coordinate degli estremi, $ A(4,5);B(-2,5) $.
Ho ricavato in primis il punto medio $ Pm (1,5) $, dopo ho impostato l'equazione dell'asse:
$ y-5=m(x-1) $
Sapendo che $ m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1) =>(5-5)/(-2-4)=0$
Segue
$ y-5=0(x-1)=>y=5 $
Il testo mi dice che l'equazione risultante è $ x=1 $ , ma non sto capendo il perchè!
O meglio vorrei capire il ragionamento che mi fa' dire che $ x=1 $ 
Facendo il grafico con Geogebra, mi sembra che la retta non ci sia perchè le due coordinate coincidono con il punto $ P $
Grazie mille!
Scrivere l'equazione dell'asse del segmento $ AB $ , date le coordinate degli estremi, $ A(4,5);B(-2,5) $.
Ho ricavato in primis il punto medio $ Pm (1,5) $, dopo ho impostato l'equazione dell'asse:
$ y-5=m(x-1) $
Sapendo che $ m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1) =>(5-5)/(-2-4)=0$
Segue
$ y-5=0(x-1)=>y=5 $
Il testo mi dice che l'equazione risultante è $ x=1 $ , ma non sto capendo il perchè!
O meglio vorrei capire il ragionamento che mi fa' dire che $ x=1 $ Facendo il grafico con Geogebra, mi sembra che la retta non ci sia perchè le due coordinate coincidono con il punto $ P $
Grazie mille!
Risposte
quella che hai trovato è la retta passante per i due punti. Per l'asse devi imporre la condizione di perpendicolarità.
Fai il disegno che aiuta.
Paola
Fai il disegno che aiuta.
Paola
"prime_number":
quella che hai trovato è la retta passante per i due punti. Per l'asse devi imporre la condizione di perpendicolarità.
Fai il disegno che aiuta.
Paola
Scusami, ma l'asse di perpendocolarità è dato dalla seguente equazione:
$ y-5=m(x-1) $ con $ m=0 $ diventa $ y=5 $
Non sto capendo!
Esercizio 2
Scrivere l'equazione dell'asse del segmento $ AB $ , date le coordinate degli estremi, $ A(3,6);B(3,-2) $.
Ho ricavato in primis il punto medio $ Pm (3,2) $, dopo ho impostato l'equazione dell'asse:
$ y-2=m(x-3) $ con $ m=0 $ avrò che la l'equazione dell'asse di un segmento sarà $ y=2 $ .
Ecco in questo caso il testo mi dice che l'equazione risultante è $ y=2 $ ed io mi trovo con i calcoli perchè ho trovato che $ y=2 $, a differenza dell'Esercizio 1 che ho trovato $ y=5 $ ed il testo mi dice che l'equazione dell'asse è $ x=1 $.
Non sto capendo perchè?!?!?!
Scrivere l'equazione dell'asse del segmento $ AB $ , date le coordinate degli estremi, $ A(3,6);B(3,-2) $.
Ho ricavato in primis il punto medio $ Pm (3,2) $, dopo ho impostato l'equazione dell'asse:
$ y-2=m(x-3) $ con $ m=0 $ avrò che la l'equazione dell'asse di un segmento sarà $ y=2 $ .
Ecco in questo caso il testo mi dice che l'equazione risultante è $ y=2 $ ed io mi trovo con i calcoli perchè ho trovato che $ y=2 $, a differenza dell'Esercizio 1 che ho trovato $ y=5 $ ed il testo mi dice che l'equazione dell'asse è $ x=1 $.
Non sto capendo perchè?!?!?!
Per piacere, ascolta il suggerimento di prime_number prima di andare in panico.
Ok, anche se sul mio testo non ce piu' di quello che ho scritto io!
Adesso cerco di fare come ha detto prime number
Ho fatto il grafico con Geogebra, ed ho ottenuto la retta che passa per i punti $ A^^B $, ho ricavato il punto medio $ Pm $ come nell'immagine:
Ma sinceramente non sto capendo cosa vuol dire prime number! Scusatemi, ma sono io che non sto capendo !
Adesso cerco di fare come ha detto prime number
Ho fatto il grafico con Geogebra, ed ho ottenuto la retta che passa per i punti $ A^^B $, ho ricavato il punto medio $ Pm $ come nell'immagine:
Ma sinceramente non sto capendo cosa vuol dire prime number! Scusatemi, ma sono io che non sto capendo
!
Guarda la figura e rispondi: quale retta è asse del segmento AB?
Cioè quale retta è perpendicolare ad AB e passa per il suo punto medio?
Cioè quale retta è perpendicolare ad AB e passa per il suo punto medio?
"@melia":
Guarda la figura e rispondi: quale retta è asse del segmento AB?
Cioè quale retta è perpendicolare ad AB e passa per il suo punto medio?
Ma infatti, l'unica cosa che ho capito facendo il grafico, è che se congiungo il punto $ Pm $ con un punto sulla coordinata $ x=1^^y=0$, ho una perpendicolare!
Penso sia l'unica risposta che posso darmi!
Ho capito che se risolvo gli esercizi aiutandomi con i grafici, riesco a capire meglio i concetti!
Permettetemi una domanda, ma voi nel risolvere questi esercizi, con tutta la vostra esperienza nel risolverli, utilizzate i grafici?
Oppure riuscite a dare le risposte senza fare i grafici?
Ovviamente intendo per esercizi un pochettino più difficili di questo!
Esercizio 3
Trovare il punto che è equidistante tanto dai punti $ A(-4,2);B(0,6) $ , quanto dai punti $ C(6,6);D(8,2) $
Ho pensato di risolvere la traccia trovando il punto simmetrico ad $ A(-4,2);B(0,6) $ e poi quello $ C(6,6);D(8,2) $!
Dopo trovare l'asse del segmento di $ A(-4,2);B(0,6) $ e poi quello di $ C(6,6);D(8,2) $ !
Alla fine metto a sistema le due equazioni degli assi simmetrici e ricavo le coordinate del punto simmetrico ai due segmenti!
Non ho i risultati dell'esercizio, ma grazie al grafico, sono riuscito a confermare la correttezza degli step risolutivi!
Spero non sia una casualità!
Grazie mille!
Trovare il punto che è equidistante tanto dai punti $ A(-4,2);B(0,6) $ , quanto dai punti $ C(6,6);D(8,2) $
Ho pensato di risolvere la traccia trovando il punto simmetrico ad $ A(-4,2);B(0,6) $ e poi quello $ C(6,6);D(8,2) $!
Dopo trovare l'asse del segmento di $ A(-4,2);B(0,6) $ e poi quello di $ C(6,6);D(8,2) $ !
Alla fine metto a sistema le due equazioni degli assi simmetrici e ricavo le coordinate del punto simmetrico ai due segmenti!
Non ho i risultati dell'esercizio, ma grazie al grafico, sono riuscito a confermare la correttezza degli step risolutivi!
Spero non sia una casualità!
Grazie mille!
Esercizio 4
Dopo aver calcolato l'equazione dell'asse del segmento di estremi $ A(7,4);B(3,6) $ , trovare l'unico punto della retta di equazione $ 2y-x-5=0 $ equidistante da $ A^^B $.
Ma secondo me il punto da trovare è $ P(5,5) $ che è il punto medio della retta $ AB $, che è l'asse di simmetria avente equazione $ x+2y-15=0$.
Secondo me basta calcolare solo il punto medio $ P(5,5) $, che è la soluzione della traccia.
Infatti con il grafico mi sono dato la risposta corretta! Ecco quì:
P.S. Non so voi se riuscite a risolvere questi esercizi senza fare i grafici, io ancora sono troppo dipendente dai grafici, dite che è un problema?
Grazie mille!
Dopo aver calcolato l'equazione dell'asse del segmento di estremi $ A(7,4);B(3,6) $ , trovare l'unico punto della retta di equazione $ 2y-x-5=0 $ equidistante da $ A^^B $.
Ma secondo me il punto da trovare è $ P(5,5) $ che è il punto medio della retta $ AB $, che è l'asse di simmetria avente equazione $ x+2y-15=0$.
Secondo me basta calcolare solo il punto medio $ P(5,5) $, che è la soluzione della traccia.
Infatti con il grafico mi sono dato la risposta corretta! Ecco quì:
P.S. Non so voi se riuscite a risolvere questi esercizi senza fare i grafici, io ancora sono troppo dipendente dai grafici, dite che è un problema?
Grazie mille!
Esercizio 3: bene metodo e calcoli, ma non la terminologia: si dice "asse del segmento" e non "asse simmetrico". Quando non c'è possibilità di equivoci con gli assi cartesiani si può anche dire solo "asse".
Esercizio 4: è giusto ma solo perché per caso la retta passava per il punto medio di AB; sarebbe stato bene controllare questo caso anche con i calcoli, verificando che le coordinate di P soddisfano l'equazione della retta. Non basta vederlo dalla figura: la retta potrebbe passare così vicina a P da ingannare l'occhio, ma non veramente per P.
Risposta al P.S.: io faccio il grafico praticamente sempre, trascurandolo solo nei casi ultra-stra-semplicissimi ed anche allora mi è già successo di fare errori legati all'assenza del grafico. Non lo ritengo un difetto e l'ho sempre imposto come obbligatorio ai miei allievi; colgo l'occasione per raccomandarti di farli sempre e a mano, usando geogebra solo come controllo e per postare qui le figure. Quando farai l'esame può capitarti un professore che esiga il grafico e non potrai avvalerti del computer.
Esercizio 4: è giusto ma solo perché per caso la retta passava per il punto medio di AB; sarebbe stato bene controllare questo caso anche con i calcoli, verificando che le coordinate di P soddisfano l'equazione della retta. Non basta vederlo dalla figura: la retta potrebbe passare così vicina a P da ingannare l'occhio, ma non veramente per P.
Risposta al P.S.: io faccio il grafico praticamente sempre, trascurandolo solo nei casi ultra-stra-semplicissimi ed anche allora mi è già successo di fare errori legati all'assenza del grafico. Non lo ritengo un difetto e l'ho sempre imposto come obbligatorio ai miei allievi; colgo l'occasione per raccomandarti di farli sempre e a mano, usando geogebra solo come controllo e per postare qui le figure. Quando farai l'esame può capitarti un professore che esiga il grafico e non potrai avvalerti del computer.
Ti ringrazio! 
Esercizio 5
Trovare il punto della bisettrice del primo e terzo quadrante che è equidistante dai due punti $ A(-3,4);B(1,6) $ .
Non sto capendo come trovare il punto richiesto dalla traccia.......
Io ho calcolato il punto medio della retta $ AB $, ho ricavato l'equazione dell'asse, ho capito che la bisettrice attraversa il primo e terzo quadrante, ma come devo fare a calcolarmi il punto che i interessa?
Trovare il punto della bisettrice del primo e terzo quadrante che è equidistante dai due punti $ A(-3,4);B(1,6) $ .
Non sto capendo come trovare il punto richiesto dalla traccia.......
Io ho calcolato il punto medio della retta $ AB $, ho ricavato l'equazione dell'asse, ho capito che la bisettrice attraversa il primo e terzo quadrante, ma come devo fare a calcolarmi il punto che i interessa?
Ti manca la bisettrice del primo e terzo quadrante. Il tuo libro ne parla di certo: la sua equazione è $y=x$ e viene ricordata a memoria. Si affida anche alla memoria il fatto che $y=-x$ è la bisettrice del secondo e quarto quadrante.
La dimostrazione rigorosa non è difficile ma ti dico soltanto il ragionamento che avresti potuto fare da solo: la disegni con l'aiuto dei quadretti e/o di riga e compasso e poi, osservando la figura, ricavi le coordinate di qualche suo punto. Trovi ad esempio i punti (3,3), (-2, -2), (5,5) e concludi subito che $y$ ed $x$ sono uguali, che è appunto l'equazione cercata.
La dimostrazione rigorosa non è difficile ma ti dico soltanto il ragionamento che avresti potuto fare da solo: la disegni con l'aiuto dei quadretti e/o di riga e compasso e poi, osservando la figura, ricavi le coordinate di qualche suo punto. Trovi ad esempio i punti (3,3), (-2, -2), (5,5) e concludi subito che $y$ ed $x$ sono uguali, che è appunto l'equazione cercata.
"giammaria":
Ti manca la bisettrice del primo e terzo quadrante. Il tuo libro ne parla di certo: la sua equazione è $y=x$ e viene ricordata a memoria. Si affida anche alla memoria il fatto che $y=-x$ è la bisettrice del secondo e quarto quadrante.
Infatti, il concetto si trova in uno degli ultimi paragrafi del capitolo, ancora non avevo letto che è un caso:
Simmetria rispetto ad $ y=x $
il sistema da utilizzare è:
$ { ( x'=y ),( y'=x ):} $
Ecco l'immagine:
Ti ringrazio!
Esercizio 6
Trovare il punto della retta di equazione $ 2y=x+10 $ che e'equidistante dai punti $ A(0,2);B(6,4) $ .
Ho ricavato il punto medio di $ A(0,2);B(6,4) $ , dopo ho ricavato l'asse della semiretta passante per $ A(0,2);B(6,4) $ e dunque il punto di intersezione con la retta $ 2y=x+10 $ dovrebbe corrispondere al punto interessato.
Ecco l'immagine:
Adesso come faccio a ricavare con i calcoli il punto che mi interessa?
Dal grafico riesco a vedere che le coordinate del punto che mi interessa sono $ C(2,6) $ , ma come faccio ad arrivarci con i calcoli?
Grazie mille!
Trovare il punto della retta di equazione $ 2y=x+10 $ che e'equidistante dai punti $ A(0,2);B(6,4) $ .
Ho ricavato il punto medio di $ A(0,2);B(6,4) $ , dopo ho ricavato l'asse della semiretta passante per $ A(0,2);B(6,4) $ e dunque il punto di intersezione con la retta $ 2y=x+10 $ dovrebbe corrispondere al punto interessato.
Ecco l'immagine:
Adesso come faccio a ricavare con i calcoli il punto che mi interessa?
Dal grafico riesco a vedere che le coordinate del punto che mi interessa sono $ C(2,6) $ , ma come faccio ad arrivarci con i calcoli?
Grazie mille!
Esercizio 5: quello che ti interessa non è la simmetria rispetto a quella bisettrice (che faresti bene a disegnare) ma solo la sua equazione. Devi trovare un punto che sta sull'asse di AB e sulla bisettrice: come fai?
Esercizio 6: cosa significa "Ho pensato che devo ricavare i punti della semiretta dela retta avente equazione $2y=x+10" e poi ricavare il punto medio e dopo ricavare l'asse." ? Di quali punti stai parlando fra gli infiniti punti della retta? Cosa c'entra una semiretta?
Il ragionamento da fare è lo stesso dell'esercizio 5: il punto che cerchi deve stare su quella retta e sull'asse di AB (essendo equidistante da A e B) quindi ...
Esercizio 6: cosa significa "Ho pensato che devo ricavare i punti della semiretta dela retta avente equazione $2y=x+10" e poi ricavare il punto medio e dopo ricavare l'asse." ? Di quali punti stai parlando fra gli infiniti punti della retta? Cosa c'entra una semiretta?
Il ragionamento da fare è lo stesso dell'esercizio 5: il punto che cerchi deve stare su quella retta e sull'asse di AB (essendo equidistante da A e B) quindi ...
"giammaria":
Esercizio 5: quello che ti interessa non è la simmetria rispetto a quella bisettrice (che faresti bene a disegnare) ma solo la sua equazione. Devi trovare un punto che sta sull'asse di AB e sulla bisettrice: come fai?
La bisettrice che interessa a noi è quella che attraversa il primo e terzo quadrante, cioè questa:
La bisettrice che è nell'immagine, è passante per il punto di origine $ O(0,0) $ e quindi la sua equazione è $ y=x $.
Quando si è in presenza di una equazione della bisettrice $ y=x $ e ci viene chiesto di ricavare il punto che equidistante dai punti $ A^^B $ , posso trovare l'equazione della retta per poi trovare l'asse della stessa, sapendo che il punto di intersezione dell'asse con la bisettrice mi daranno il punto cercato e quindi posso ricavare i due punti $ D^^C $, ricavare a sua volta l'asse di quest'ultima e le intersezioni dell'asse saranno il punto cercato!
Ovviamente i punti $ D^^C $ sono riuscito a ricavarli mediante il sistema che segue.
$ { ( x'=y ),( y'=x ):} $
Il passaggio finale che ti darà il punto di interesse, sarà dato dall'intersezione delle due equazioni dell'Asse prima semiretta e dall'Asse seconda semiretta! Per arrivare al seguente grafico:
Sono riuscito ad ottenere il punto avente coordinate $ (1,1) $ , dici che ho fatto bene?
"giammaria":
Esercizio 6
Il ragionamento da fare è lo stesso dell'esercizio 5: il punto che cerchi deve stare su quella retta e sull'asse di AB (essendo equidistante da A e B) quindi ...
Questo non sto riuscendo proprio a risolverlo!
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Quale metodo devo utilixzzare? Mi hai detto che il ragionamento è lo stesso dell'esercizio 5, ma io non sto riuscendo a collegare gli stessi step in questo!
Non sto riuscendo a venirne fuori?
Esercizio 5: dimentica la simmetria rispetto alla bisettrice, che non c'entra per niente. Riprendi invece la prima figura che hai fatto per questo esercizio ( la prima di questa pagina) e in quella stessa figura disegna anche la bisettrice in questione. Non è necessario postare il risultato: l'importante è che tu lo veda.
E adesso ragiona: vuoi un punto che stia contemporaneamente su due rette quindi ...
Quando in matematica vuoi che sia vera una cosa (espressa da un'equazione) e anche che ne sia vera un'altra fai ...
E adesso ragiona: vuoi un punto che stia contemporaneamente su due rette quindi ...
Quando in matematica vuoi che sia vera una cosa (espressa da un'equazione) e anche che ne sia vera un'altra fai ...
"giammaria":
Esercizio 5: dimentica la simmetria rispetto alla bisettrice, che non c'entra per niente. Riprendi invece la prima figura che hai fatto per questo esercizio ( la prima di questa pagina) e in quella stessa figura disegna anche la bisettrice in questione. Non è necessario postare il risultato: l'importante è che tu lo veda.
E adesso ragiona: vuoi un punto che stia contemporaneamente su due rette quindi ...
Quando in matematica vuoi che sia vera una cosa (espressa da un'equazione) e anche che ne sia vera un'altra fai ...
Devo fare l'intersezione delle equazioni delle due rette!?
Forse ci sono arrivato grazie al tuo aiuto
Bisogna fare l'intersezione delle equazioni delle due rette, ovviamente si intende l'intersezione dell'asse con la bisettrice. L'asse ha equazione $ 2x+y-3=0 $, mentre la bisettrice ha equazione $ x-y=0 $ , quindi metto a sistema:
$ { (2x+y-3=0 ),( x-y=0 ):}=>{ (2y+y-3=0 ),( x=y ):}=>{ (3y-3=0 ),( x=y ):}=>{ (y=1 ),( x=1 ):} $
Ecco il grafico:
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