Asintoti obliqui e derivata prima
Ciao a tutti! Mi sono appena iscritto... Ho finito il liceo classico e l'anno prossimo pensavo di iscrivermi a matematica... Così quest'estate ho deciso di ripassare l'analisi. Studiando gli asintoti obliqui mi è venuto in mente una sorta di "teorema": sia $f(x)$ una funzione reale a variabile reale tale che $lim_{x \to \infty}(f(x)-mx-q)=0$. Allora $lim_{x \to \infty}f'(x)=k$ con $k \in RR$. La dimostrazione più banale (che sfrutta le proprietà dei limiti ed il teorema di de l'Hopital) non mi piace molto... D'altra parte non sono riuscito a dimostrare questo teorema in nessun'altra maniera... Ad esempio ho provato ad impiegare il teorema di Lagrange, come viene usato nella dimostrazione di quello di l'Hopital, ma ho ottenuto come risultato un limite un po' atipico, a due variabili! Avete qualche suggerimento??
Risposte
ciao, il teorema esista già da un bel po di tempo e indica proprio come determinare gli asintoti obliqui... tieni a mente che di solito le dimostrazioni più "banali" sono più "giuste" sono...
Ah, ok! Sui miei libri non era riportato questo teorema... Grazie mille!
Ehhm, per la verità (come l'hai detto tu) il teorema è falso ( e forse per questo non riuscivi a dimostrarlo ...).
Il teorema formulato correttamente è
Se $\lim_{x\to\infty}(f(x)-mx-q)=0$ e SE ESISTE $\lim_{x\to\infty}f'(x)=k$, allora $m=k$
e direi che per dimostrarlo si passa prima per il fatto, comunque vero, che $m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$
e poi si usa l'Hospital (che male c'è?)
Se prendi $f(x)=\sin(x^2)/x$ vedi che $y=0$ è un asintoto obliquo ma $f'(x)$ non ha limite.
I migliori incoraggiamenti per matematica!!!
Il teorema formulato correttamente è
Se $\lim_{x\to\infty}(f(x)-mx-q)=0$ e SE ESISTE $\lim_{x\to\infty}f'(x)=k$, allora $m=k$
e direi che per dimostrarlo si passa prima per il fatto, comunque vero, che $m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$
e poi si usa l'Hospital (che male c'è?)
Se prendi $f(x)=\sin(x^2)/x$ vedi che $y=0$ è un asintoto obliquo ma $f'(x)$ non ha limite.
I migliori incoraggiamenti per matematica!!!
In ogni caso, spesso il calcolo degli asintoti può essere fatto
in modo alternativo.
Esempio per le funzioni razionali fratte:
$f(x) = (3x^3-5x^2+7x-2)/(2x^2+x-8)$
oppure per altre funzioni, come:
$g(x) = 3x - 2 + sqrt(x^2-4)$.
Per $f(x)$ basta eseguire la divisione polinomiale,
mentre per $g(x)$ basta considerare il grafico come
parte dell'iperbole di equazione
$(y-3x+2)^2 = x^2 - 4$.
in modo alternativo.
Esempio per le funzioni razionali fratte:
$f(x) = (3x^3-5x^2+7x-2)/(2x^2+x-8)$
oppure per altre funzioni, come:
$g(x) = 3x - 2 + sqrt(x^2-4)$.
Per $f(x)$ basta eseguire la divisione polinomiale,
mentre per $g(x)$ basta considerare il grafico come
parte dell'iperbole di equazione
$(y-3x+2)^2 = x^2 - 4$.
C'è però una cosa che non mi è chiara...
Se assumo come ipotesi $lim_{x \to \infty}(f(x)-mx-q)=0$ allora,
dividendo per $x!=0$, ottengo $lim_{x \to \infty}(f(x)/x-m-q/x)=0$.
Visto che $lim_{x \to \infty}q/x=0$ e che $lim_{x \to \infty}m=0$, allora $lim_{x \to \infty}f(x)/x=m.
Ma $lim_{x \to \infty}f(x)/x$ è anche una forma indeterminata del tipo $\infty/\infty$, quindi posso applicare l'Hopital
e concludere che $lim_{x \to \infty}f'(x)=m$.
Inoltre il controesempio addotto da ViciousGoblinEnters, $f(x)=sin(x^2)/x$ non mi convince... $y=0$ è asintoto orizzontale,
non obliquo! Prendendo spunto da qui, però, ho cercato una funzione che oscilla infinite volte
intorno ad un asintoto obliquo... Avevo pensato di far ruotare, ad esempio di 45°, la funzione $f(x)=sin(x)/x$, ma
tutto quello che ho ottenuto è stato una funzione $f(x,y)$ a due variabili in cui non sono capace di esplicitare la x...
Ho commesso qualche errore in questi ragionamenti? Ho paura di aver scritto delle cavolate...
Se assumo come ipotesi $lim_{x \to \infty}(f(x)-mx-q)=0$ allora,
dividendo per $x!=0$, ottengo $lim_{x \to \infty}(f(x)/x-m-q/x)=0$.
Visto che $lim_{x \to \infty}q/x=0$ e che $lim_{x \to \infty}m=0$, allora $lim_{x \to \infty}f(x)/x=m.
Ma $lim_{x \to \infty}f(x)/x$ è anche una forma indeterminata del tipo $\infty/\infty$, quindi posso applicare l'Hopital
e concludere che $lim_{x \to \infty}f'(x)=m$.
Inoltre il controesempio addotto da ViciousGoblinEnters, $f(x)=sin(x^2)/x$ non mi convince... $y=0$ è asintoto orizzontale,
non obliquo! Prendendo spunto da qui, però, ho cercato una funzione che oscilla infinite volte
intorno ad un asintoto obliquo... Avevo pensato di far ruotare, ad esempio di 45°, la funzione $f(x)=sin(x)/x$, ma
tutto quello che ho ottenuto è stato una funzione $f(x,y)$ a due variabili in cui non sono capace di esplicitare la x...
Ho commesso qualche errore in questi ragionamenti? Ho paura di aver scritto delle cavolate...
Il problema è che anche l'Hospital non è vero se non si assume a priori l'esistenza del limite delle derivate.
Un controesempio si può trovare prendendo $f(x)=x^2\sin(1/x)$ e $g(x)=x$. Entrambre tendono a zero
stavolta per $x\to0$ (quindi la forma $f(x)/g(x)$ è indeterminata per $x\to0$). Peraltro
$f(x)/g(x)=x\sin(1/x)\to 0$ mentre
$\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{2x\sin(1/x) +x^2(-1/x^2)\sin(1/x)}{1} =2x\sin(1/x)-\sin(1/x^2)$ che non ha limite.
Per quanto riguarda l'asintoto se non ti piace il caso dell'asintoto ozizzontale puoi prendere
$f(x)=x+\sin(x^2)/x$ che ha la retta $y=x$ come asintoto obliquo, ma la cui derivata
$f'(x)=1+2\sin(x^2)-\sin(x^2)/(x^2)$ che non ha limite.
Un controesempio si può trovare prendendo $f(x)=x^2\sin(1/x)$ e $g(x)=x$. Entrambre tendono a zero
stavolta per $x\to0$ (quindi la forma $f(x)/g(x)$ è indeterminata per $x\to0$). Peraltro
$f(x)/g(x)=x\sin(1/x)\to 0$ mentre
$\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{2x\sin(1/x) +x^2(-1/x^2)\sin(1/x)}{1} =2x\sin(1/x)-\sin(1/x^2)$ che non ha limite.
Per quanto riguarda l'asintoto se non ti piace il caso dell'asintoto ozizzontale puoi prendere
$f(x)=x+\sin(x^2)/x$ che ha la retta $y=x$ come asintoto obliquo, ma la cui derivata
$f'(x)=1+2\sin(x^2)-\sin(x^2)/(x^2)$ che non ha limite.
Ok! Questa volta ho capito molto bene... Ti ringrazio per i chiarimenti!!
Benvenuto sul forum!
Devi provenire da un liceo classico serio per avere già queste conoscenze matematiche!
In bocca al lupo per gli studi futuri.
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