Asintoti e funzioni simmetriche pari e dispari
Salve volevo sapere come si calcolano gli asintoti verticali,orizzontali e obliqui con un esempio e infine come calcolare una funzione pari e dispari 
Risposte
ciao MAry97!
Allora... in ordine
1) Asintoto Verticale
lo noti subito... se la funzione non è definita in un punto di R potrebbe esserci un A.V.
Esempio: $y=1/(x-1)$
la funzione non è definita nel punto x=1 allora la retta $x=1$ è una candidata a essere asintoto verticale
per verificarlo fai i limiti destro e sinistro della funzione in quel punto
$lim_(x->1^+) f(x)= + infty$
$lim_(x->1^-) f(x)= - infty$
la funzione tende a infinito a sinistra destra di x=1 allora hai dimostrato che la retta $x=1$ è asintoto verticale
2) Asintoto Orizzontale
Devi guardare i limiti agli estremi del dominio... se uno o entrambi tendono a un NUMERO allora hai asintoto Orizzontale...
Esempio (stesso di prima): $y=1/(x-1)$
facciamo i limiti
$lim_(x->+infty) f(x) = 0$
$lim_(x->-infty) f(x) = 0$
Allora la retta $y=0$ cioè l'asse delle x è asintoto orizzontale
Inserisco in allegato il grafico della funzione usata per gli esempi, puoi vedere da sola gli asintoti orizzontale e verticale
3) Asintoto Obliquo
Ne abbiamo parlato da poco su questo fourum, trovi tutto e anche di più qui
viewtopic.php?f=11&t=144831
In pratica devi fare il limite
$lim_(x->+-infty) (f(x))/x$ e se questo limite esiste ed è un numero m (diverso da zero) esso corrisponde al coefficiente angolare della retta che è asintoto obliquo $y=mx+q$
Il parametro $q$ lo trovi facendo il limite
$lim_(x->+-infty) (f(x)-mx)$
I limiti da fare sono sempre due, + e - infinito, perchè a volte succede che l'asintoto obliquo sia solo da una parte, si dice destro oppure sinistro, potrebbe, e succede spesso, non valere per tutta la funzione ma solo per la parte a destra o a sinistra
Esempio: $y=(3x^2-1)/x$
il primo limite che ti fornisce $m$ vale $3$
il secondo limite che ti fornisce $q$ vale $0$ quindi esiste l'asintoto obliquo che è la retta $y=3x$
Queste che ti ho detto sono considerazioni del tutto "pratiche" e non rigorose. Ovviamente sui testi di scuola e su questo forum troverai invece le definizioni rigorose e le dimostrazioni che probabilmente ti verranno chieste se interrogata.
hai capito tutto? Perchè non provi a fare tu degli esempi?
Invece per le funzioni PARI e DISPARI tieni presente che non si "calcolano" ma si verificano solo... cioè tu puoi dire SE una funzione è pari o dispari e basta, è una CARATTERISTICA di una funzione molto utile!!
Le funzioni PARI sono quelle per cui
$f(x)=f(-x)$
e un esempio è la funzione $f(x)=x^2$ prova a sostituire alla $x$ un bel $-x$ e vedrai che non cambia niente... allora si dice che f(x) è pari e il suo grafico sarà simmetrico rispetto all'asse y
Le funzioni DISPARI sono quelle per cui
$f(x)=-f(-x)$
e un esempio è la funzione $f(x)=x^3$ prova a sostituire alla $x$ un bel $-x$ e vedrai che devi cambiare segno... allora si dice che f(x) è dispari e il suo grafico sarà simmetrico rispetto all'origine degli assi
ciao!!
Allora... in ordine
1) Asintoto Verticale
lo noti subito... se la funzione non è definita in un punto di R potrebbe esserci un A.V.
Esempio: $y=1/(x-1)$
la funzione non è definita nel punto x=1 allora la retta $x=1$ è una candidata a essere asintoto verticale
per verificarlo fai i limiti destro e sinistro della funzione in quel punto
$lim_(x->1^+) f(x)= + infty$
$lim_(x->1^-) f(x)= - infty$
la funzione tende a infinito a sinistra destra di x=1 allora hai dimostrato che la retta $x=1$ è asintoto verticale
2) Asintoto Orizzontale
Devi guardare i limiti agli estremi del dominio... se uno o entrambi tendono a un NUMERO allora hai asintoto Orizzontale...
Esempio (stesso di prima): $y=1/(x-1)$
facciamo i limiti
$lim_(x->+infty) f(x) = 0$
$lim_(x->-infty) f(x) = 0$
Allora la retta $y=0$ cioè l'asse delle x è asintoto orizzontale
Inserisco in allegato il grafico della funzione usata per gli esempi, puoi vedere da sola gli asintoti orizzontale e verticale
3) Asintoto Obliquo
Ne abbiamo parlato da poco su questo fourum, trovi tutto e anche di più qui
viewtopic.php?f=11&t=144831
In pratica devi fare il limite
$lim_(x->+-infty) (f(x))/x$ e se questo limite esiste ed è un numero m (diverso da zero) esso corrisponde al coefficiente angolare della retta che è asintoto obliquo $y=mx+q$
Il parametro $q$ lo trovi facendo il limite
$lim_(x->+-infty) (f(x)-mx)$
I limiti da fare sono sempre due, + e - infinito, perchè a volte succede che l'asintoto obliquo sia solo da una parte, si dice destro oppure sinistro, potrebbe, e succede spesso, non valere per tutta la funzione ma solo per la parte a destra o a sinistra
Esempio: $y=(3x^2-1)/x$
il primo limite che ti fornisce $m$ vale $3$
il secondo limite che ti fornisce $q$ vale $0$ quindi esiste l'asintoto obliquo che è la retta $y=3x$
Queste che ti ho detto sono considerazioni del tutto "pratiche" e non rigorose. Ovviamente sui testi di scuola e su questo forum troverai invece le definizioni rigorose e le dimostrazioni che probabilmente ti verranno chieste se interrogata.
hai capito tutto? Perchè non provi a fare tu degli esempi?
Invece per le funzioni PARI e DISPARI tieni presente che non si "calcolano" ma si verificano solo... cioè tu puoi dire SE una funzione è pari o dispari e basta, è una CARATTERISTICA di una funzione molto utile!!
Le funzioni PARI sono quelle per cui
$f(x)=f(-x)$
e un esempio è la funzione $f(x)=x^2$ prova a sostituire alla $x$ un bel $-x$ e vedrai che non cambia niente... allora si dice che f(x) è pari e il suo grafico sarà simmetrico rispetto all'asse y
Le funzioni DISPARI sono quelle per cui
$f(x)=-f(-x)$
e un esempio è la funzione $f(x)=x^3$ prova a sostituire alla $x$ un bel $-x$ e vedrai che devi cambiare segno... allora si dice che f(x) è dispari e il suo grafico sarà simmetrico rispetto all'origine degli assi
ciao!!
Grazie non ho capito una cosa..il procedimento per sviluppare i limiti dell asintoto verticale e orizzontale?
Non c'è un gran procedimento Mary... ci sono persone del forum molto più esperte di me in fatto di limiti e ti darebbero la risoluzione rigorosa... io mi "limito" a dirti questo
se la funzione è
$y=1/(x-1)$
e devi fare i limiti per x che tende a infinito... beh... prova mentalmente a sostituire un numero molto grande tipo 1 miliardo... vedi che la funzione fa circa 1 diviso per 1 miliardo... cioè praticamente zero
Oppure se devi fare i limiti per x che tende a 1 da sinistra e destra... anche li immagina per esempio 1.00001 (destra) oppure 0.999999 (sinistra) e prova a sostituire e a fare la divisione... vedrai che ottieni un numero enorme perchè il denominatore viene quasi zero
ma queste sono considerazioni"pratiche" che poco hanno a che fare col rigore che è proprio della materia che stai affrontando... ti consiglio di studiare bene i limiti sul libro di scuola, definizioni e proprietà e dimostrazioni... vedrai che questi due che ti ho inventato sono molto semplici, direi pagina 1 di qualsiasi libro
se la funzione è
$y=1/(x-1)$
e devi fare i limiti per x che tende a infinito... beh... prova mentalmente a sostituire un numero molto grande tipo 1 miliardo... vedi che la funzione fa circa 1 diviso per 1 miliardo... cioè praticamente zero
Oppure se devi fare i limiti per x che tende a 1 da sinistra e destra... anche li immagina per esempio 1.00001 (destra) oppure 0.999999 (sinistra) e prova a sostituire e a fare la divisione... vedrai che ottieni un numero enorme perchè il denominatore viene quasi zero
ma queste sono considerazioni"pratiche" che poco hanno a che fare col rigore che è proprio della materia che stai affrontando... ti consiglio di studiare bene i limiti sul libro di scuola, definizioni e proprietà e dimostrazioni... vedrai che questi due che ti ho inventato sono molto semplici, direi pagina 1 di qualsiasi libro
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