Area, volume
non so se quello che ho scritto può avere una collocazione in questa sezione... comunque
1)la prima cosa che ho notato è che a seconda il numero di dimensioni per determinare un oggetto occorre un particolare numero di punti (es. nel piano che ha due dimensioni servono due punti per assegnare una e una sola retta ho pensato che forse non è un caso che il numero sia in realtà identico al numero di dimensioni): cosa ne pensate è solo un caso o esiste una teoria che spiega questo che ho osservato?
2)ho preso poi in considerazione il volume di una sfera $V=4/3pi*r^3$ e l'area del cerchio $pi*r^2$ ho poi pensato che l'area può essere pensata come il volume in due dimensioni (probabilmente è qui che comincio a dire stupidaggini
o forse le ho già dette!) comunque ho visto che indicando con $d$ il numero di dimensioni l'area e il volume possono essere espressi con la stessa formula cioè: $k*pi*r^d$ dove $k=2(d-1)/d$ infatti in due dimensioni $k=1$ e $A=pi*r^2$ mentre per tre dimensioni $k=3$ e $V=4/3*pi*r^3$ probabilmente è solo un caso comunque potreste dirmi cosa ne pensate?
p.s. ho considerato solo la sfera il cerchio in quanto avevano entrambe pi greco
1)la prima cosa che ho notato è che a seconda il numero di dimensioni per determinare un oggetto occorre un particolare numero di punti (es. nel piano che ha due dimensioni servono due punti per assegnare una e una sola retta ho pensato che forse non è un caso che il numero sia in realtà identico al numero di dimensioni): cosa ne pensate è solo un caso o esiste una teoria che spiega questo che ho osservato?
2)ho preso poi in considerazione il volume di una sfera $V=4/3pi*r^3$ e l'area del cerchio $pi*r^2$ ho poi pensato che l'area può essere pensata come il volume in due dimensioni (probabilmente è qui che comincio a dire stupidaggini
o forse le ho già dette!) comunque ho visto che indicando con $d$ il numero di dimensioni l'area e il volume possono essere espressi con la stessa formula cioè: $k*pi*r^d$ dove $k=2(d-1)/d$ infatti in due dimensioni $k=1$ e $A=pi*r^2$ mentre per tre dimensioni $k=3$ e $V=4/3*pi*r^3$ probabilmente è solo un caso comunque potreste dirmi cosa ne pensate?p.s. ho considerato solo la sfera il cerchio in quanto avevano entrambe pi greco
Risposte
Queste sono ottime osservazioni, tutte fondate.
Per la 1): In realtà servono sempre due punti per definire una retta, tanto nel piano quanto nello spazio. Mentre, nello spazio, servono tre punti per definire un piano. Non tre punti qualsiasi naturalmente, ma tre punti non allineati. Al contrario, nel piano o nello spazio, un solo punto definisce...un solo punto. Punto, retta, piano sono tre oggetti molto simili: tutti e tre hanno una forma "lineare" (qualunque cosa questo voglia dire. E' un concetto grezzo, che richiede un certo lavoro preparatorio per essere formalizzato). Supponiamo di poter parlare di "dimensione", altro concetto intuitivo che andrebbe formalizzato. Ma non abbiamo difficoltà a credere che il punto ha dimensione 0, la retta ha dimensione 1, il piano ha dimensione 2. Quindi:
per definire un oggetto lineare di dimensione 0 serve assegnare 1 punto;
per definire un oggetto lineare di dimensione 1 serve assegnare 2 punti;
per definire un oggetto lineare di dimensione 2 serve assegnare 3 punti.
Come vedi, tanti punti quanto la dimensione + 1. C'è una spiegazione per questo fenomeno, che risiede nell'ambito della cosiddetta geometria affine.
Per la 2): Anche qui c'è una spiegazione, che posto più tardi.
Per la 1): In realtà servono sempre due punti per definire una retta, tanto nel piano quanto nello spazio. Mentre, nello spazio, servono tre punti per definire un piano. Non tre punti qualsiasi naturalmente, ma tre punti non allineati. Al contrario, nel piano o nello spazio, un solo punto definisce...un solo punto. Punto, retta, piano sono tre oggetti molto simili: tutti e tre hanno una forma "lineare" (qualunque cosa questo voglia dire. E' un concetto grezzo, che richiede un certo lavoro preparatorio per essere formalizzato). Supponiamo di poter parlare di "dimensione", altro concetto intuitivo che andrebbe formalizzato. Ma non abbiamo difficoltà a credere che il punto ha dimensione 0, la retta ha dimensione 1, il piano ha dimensione 2. Quindi:
per definire un oggetto lineare di dimensione 0 serve assegnare 1 punto;
per definire un oggetto lineare di dimensione 1 serve assegnare 2 punti;
per definire un oggetto lineare di dimensione 2 serve assegnare 3 punti.
Come vedi, tanti punti quanto la dimensione + 1. C'è una spiegazione per questo fenomeno, che risiede nell'ambito della cosiddetta geometria affine.
Per la 2): Anche qui c'è una spiegazione, che posto più tardi.
per tre dimensioni $K=4/3$
il discorso potrebbe anche essere esteso agli altri solidi. per esempio nell'area del triangolonoi dividiamo per 2 mentre per il cono o per la piramide si divide per 3. ho pensato che anche in questo caso possa dipendere dal numero di dimensioni. infatti triangolo dimensioni=2 e sidivide per due, cono o piramide dimensioni=3 e si divide per 3
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inoltre abbiamo anche che riguado la formula del $K$ se poniamo una dimensione frazionaria si vede come l'd-volume può avere anche valori immaginari per esempio per $d=1/2$ è possibile?
infini ho visto che per d che tende a infinito il valore di k si avvicina a 2 senza però mai raggiungerlo
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inoltre abbiamo anche che riguado la formula del $K$ se poniamo una dimensione frazionaria si vede come l'd-volume può avere anche valori immaginari per esempio per $d=1/2$ è possibile?
infini ho visto che per d che tende a infinito il valore di k si avvicina a 2 senza però mai raggiungerlo
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