Area triangolo inscritto in semicirconferenza

[michele.assirelli]

Buonasera,
vorrei porre alla vostra attenzione due problemi sul teorema della corda.

Problema 1


Ho disegnato la figura come segue:



Per determinare l'area ho pensato di usare:
$A_(ODC) = r*r*sin(C\hatOD)$

$β_1 = β = 60°$ essendo $OBC$ equilatero.
$α_1 = π-2α$ essendo $AOD$ isoscele

Applicando il teorema della corda su $ADB$ si determina $cos(α)=1/4$

A questo punto il problema sarebbe risolto a livello numerico, e infatti approssimando il risultato viene come al libro. Tuttavia non capisco che procedimento ha seguito il libro per trovare un risultato analitico.

Problema 2

Questa la figura:

Ponendo $B\hatAP=2x$ si trovano immediatamente $AP$ e $BQ$. Sono invece in difficoltà nel trovare $PQ$. Lo farei applicando ragionamenti molto simili a quelli del problema precedente, tuttavia questo mi porta molto lontano dal risultato del problema. Qualche suggerimento?

[@melia]

Problema 1
Nella formula dell'area del triangolo $ODC$ ha scordato $1/2$, ma credo sia solo un piccolo refuso.
$ChatOD = pi-alpha_1-beta_1 =pi -(pi-2 alpha)-pi/3 =2alpha-pi/3$
Per calcolare $sin(C\hatOD) $ devi applicare le formule goniometriche (duplicazione e prima relazione fondamentale della goniometri) per calcolarti $cos 2alpha= -7/8$ e $sin 2alpha= sqrt15/8$ e utilizzare i dati trovati per calcolare, con la formula di sottrazione degli archi, $sin ChatOD = sin (2alpha-pi/3) = (sqrt 15 +7sqrt3)/16$...

[michele.assirelli]

Grazie per il suggerimento melia, tutto chiaro.

Per quanto riguarda il problema 2 ho proceduto disegnando:



Da cui su $AOP$ isoscele abbiamo $A\hatOP = π-4x$
su $BOQ$ isoscele abbiamo $B\hatQO = O\hatBQ = π/2 - x$ e quindi $B\hatOQ = 2x$.

Pertanto $P\hatOQ = π/2 - x$ e dal teorema della corda $PQ=2r*sin(π/4 - x/2)$
Inoltre
$AP = 2rcos(2x)$ e $BQ=2rsin(x)$

Le torna che la parte geometrica sia corretta?

[BayMax1]

Ciao @WeP e ciao anche @melia, ovviamente.
Per risponderti @WeP, magari dico una stupidaggine, ma per il teorema della corda non è, semplicemente, $PQ=2rsin(x)$ ? Dopotutto la corda $PQ$ insiste sull'angolo alla circonferenza $Phat(A)Q=x$

Saluti

[michele.assirelli]

E' corretto. Non mi era chiaro il teorema della corda, ma ora dovrei averlo capito.
Grazie a tutti per le risposte.