Area trapezio isoscele circoscritto a una circonferenza
Un trapezio isoscele circoscritto a una circonferenza di raggio $asqrt(6)$ ha perimetro uguale a $20a$. Determina l'area del trapezio.
$AB + CD + 2CB = 20a => AB + CD = 2(10a - CB)$, dove $AB$ è la base maggiore, $CD$ base minore e $ 2CB$ sono i due lati obliqui (che sono congruenti). In un tale trapezio so che il diametro della circonferenza inscritta è medio proporzionale tra le due basi: $AB:2asqrt(6)=2asqrt(6):CD$.
Ho provato a ricavarmi $CB$ considerando che il raggio della circonferenza è medio proporzionale tra i due segmenti in cui ciascun lato obliquo resta diviso dal punto di tg con la circonferenza stessa (che poi sarebbe il secondo teorema di Euclide), ma ho comunque troppe poche info per potermelo determinare.
L'area del trapezio è data da $S= 1/2 2asqrt(6) (AB+CD)$, quindi l'unica cosa che devo trovare è quel $CB$ per arrivare alla soluzione. Mi consigliereste come arrivarci?
Grazie in anticipo.
$AB + CD + 2CB = 20a => AB + CD = 2(10a - CB)$, dove $AB$ è la base maggiore, $CD$ base minore e $ 2CB$ sono i due lati obliqui (che sono congruenti). In un tale trapezio so che il diametro della circonferenza inscritta è medio proporzionale tra le due basi: $AB:2asqrt(6)=2asqrt(6):CD$.
Ho provato a ricavarmi $CB$ considerando che il raggio della circonferenza è medio proporzionale tra i due segmenti in cui ciascun lato obliquo resta diviso dal punto di tg con la circonferenza stessa (che poi sarebbe il secondo teorema di Euclide), ma ho comunque troppe poche info per potermelo determinare.
L'area del trapezio è data da $S= 1/2 2asqrt(6) (AB+CD)$, quindi l'unica cosa che devo trovare è quel $CB$ per arrivare alla soluzione. Mi consigliereste come arrivarci?
Grazie in anticipo.
Risposte
Dalla proprezionalità che indichi (è una proprietà che non conosco bene, ma la accetto) ricavi $AB*CD=(2asqrt6)^2$ e dal perimetro ricavi $AB+CD=10a$: ti è ora facile calcolare $AB, CD$.
Oppure inizi dimostrando che, detto O il centro della circonferenza, $B hatOC$ è un angolo retto (lo puoi fare notando che BO e CO sono le bisettrici di due angoli supplementari) e poi usi il secondo teorema di Euclide sul triangolo BOC; io ho posto $BT=x$, dove T è il punto di tangenza con BC.
Se il nostro unico scopo fosse calcolare CB, sarebbe ancor più facile; infatti
$"perimetro"=2(AD+CB)=2*2*CB=4*CB$
Oppure inizi dimostrando che, detto O il centro della circonferenza, $B hatOC$ è un angolo retto (lo puoi fare notando che BO e CO sono le bisettrici di due angoli supplementari) e poi usi il secondo teorema di Euclide sul triangolo BOC; io ho posto $BT=x$, dove T è il punto di tangenza con BC.
Se il nostro unico scopo fosse calcolare CB, sarebbe ancor più facile; infatti
$"perimetro"=2(AD+CB)=2*2*CB=4*CB$
"giammaria"::
e dal perimetro ricavi $AB+CD=10a$
Come hai fatto a ricavare il perimetro? Io sono riuscito solo a ricavarmi che $AB+CD=2(10a - CB)$, ma come vedi c'è l'incognita del lato obliquo che mi impedisce di impostare un sistema trovandomi $AB$ e $CD$
Edit: in un poligono circoscritto la somma di due lati opposti è uguale alla somma degli altri due, quindi $CB=5a$. Ora credo proprio di aver risolto il mio dubbio.
Grazie mille!
"giammaria":
Oppure inizi dimostrando che, detto O il centro della circonferenza, $B hatOC$ è un angolo retto (lo puoi fare notando che BO e CO sono le bisettrici di due angoli supplementari) e poi usi il secondo teorema di Euclide sul triangolo BOC; io ho posto $BT=x$, dove T è il punto di tangenza con BC.
Otterrei $r^2= x * (CB-x)$, dove $x$ è il punto di contatto fra il raggio della circonferenza e il lato tangente. Da qui non riesco comunque a capire come procedere.
Oppure, usando l'altra variante del secondo teorema di Euclide: $x:r=r:(CB-x)$
"HowardRoark":
...
Mi consigliereste come arrivarci?
Grazie in anticipo.
Proviamo con questo approccio.
Se provi a congiungere ciascun vertice del trapezio con il centro del cerchio divideremo la figura in 4 triangoli.
Di questi triangoli noi conosciamo le altezze (che è il raggio del cerchio).
Possiamo quindi calcolarci le aree dei singoli triangoli (fissato con $O$ il centro del cerchio:
$A_{AOB} = 1/2AB * r$
$A_{BOC} = 1/2BC * r$
$A_{COD} = 1/2CD * r$
$A_{AOD} = 1/2AD * r$
Sommando queste aree otterremo l'area del trapezio.
Osserviamo quindi che, se eseguo l'addizione delle aree ottengo:
$A_{ABCD} = 1/2AB * r + 1/2BC * r + 1/2CD * r + 1/2AD * r = 1/2(AB+BC+CD+AD)*r$
Ma sappiamo che $p = AB+BC+CD+AD = 20a$ per cui..... continua tu.
"HowardRoark":
.. Otterrei $r^2= x * (CB-x)$, dove $x$ è il punto di contatto ... Da qui non riesco comunque a capire come procedere.
Nel post precedente, tu stesso hai calcolato $CB=5a$: ti basta sostituirlo.
Ti conviene badare alle parole che usi: $x$ non è un punto ma un segmento. E nel post precedente scrivi "Come hai fatto a ricavare il perimetro?": non l'ho ricavato, è un dato del problema. E più oltre: " in un poligono circoscritto la somma di due lati opposti ...": è evidente che stai pensando al quadrilatero circoscritto, ma non l'hai detto.
Bello e velocissimo il metodo di DavidGnomo.
"giammaria":
Nel post precedente, tu stesso hai calcolato $CB=5a$: ti basta sostituirlo.
Non l'avevo ricavato prima di questa mattina, ricordandomi della proprietà dei poligoni circoscritti. Senza di questa non so in che altro modo avrei potuto fare.
"giammaria":
E nel post precedente scrivi "Come hai fatto a ricavare il perimetro?": non l'ho ricavato, è un dato del problema.
Vero, a volte scrivo in maniera molto approssimativa, dovrei starci più attento. Comunque, quello che intendevo dire era: come hai fatto a ricavare $CB$?
"giammaria":
E più oltre: " in un poligono circoscritto la somma di due lati opposti ...": è evidente che stai pensando al quadrilatero circoscritto, ma non l'hai detto.
Sì ma ripeto che il messaggio l'ho editato, alla proprietà dei poligoni circoscritti ci ho pensato dopo aver scritto il messaggio. E' chiaro che con l'informazione della lunghezza di $CB$ l'esercizio è praticamente risolto.
"DavidGnomo":
Di questi triangoli noi conosciamo le altezze (che è il raggio del cerchio).
Possiamo quindi calcolarci le aree dei singoli triangoli (fissato con $O$ il centro del cerchio:
$A_{AOB} = 1/2AB * r$
$A_{BOC} = 1/2BC * r$
$A_{COD} = 1/2CD * r$
$A_{AOD} = 1/2AD * r$
Sommando queste aree otterremo l'area del trapezio.
Osserviamo quindi che, se eseguo l'addizione delle aree ottengo:
$A_{ABCD} = 1/2AB * r + 1/2BC * r + 1/2CD * r + 1/2AD * r = 1/2(AB+BC+CD+AD)*r$
Ma sappiamo che $p = AB+BC+CD+AD = 20a$ per cui..... continua tu.
Facciamo $AD=CB$ per introdurre meno incognite, visto che il trapezio è isoscele.
Il metodo è carino e visivamente ci avevo già pensato, ma pensavo che presupposto per risolvere il problema così fosse comunque quello di conoscere la lunghezza di $CB$, e invece facendo così $CB$ si annulla: $AB+CD= 2(10a-CB)$, sostituisci $AB+CD$ nella tua formula e ottieni $Area = 1/2 (20a-2CB +2CB) * asqrt(6)$. Però, per capire che $CB$ si sarebbe annullato, avrei dovuto procedere a tentativi o si poteva dedurre in qualche modo? Perché, ripeto, al metodo ci avevo pensato ma mi sembrava più lungo di quello standard e non risolutivo (quando invece lo era).
"HowardRoark":
...
Però, per capire che $CB$ si sarebbe annullato, avrei dovuto procedere a tentativi o si poteva dedurre in qualche modo? Perché, ripeto, al metodo ci avevo pensato ma mi sembrava più lungo di quello standard e non risolutivo (quando invece lo era).
Personalmente non saprei come dedurre l'annullamento da te indicato. Non lo trovo immediato diciamo.
Perchè pensavi che non fosse risolutivo?
Alla fine i dati che hai del problema sono proprio quelli che ti servono.
Entrano a pennello come i regali nella calza della befana che attenderemo questa notte
"DavidGnomo":
Perchè pensavi che non fosse risolutivo?
Perché le basi dei triangoli obliqui di cui vuoi calcolare l'area sono uguali o congruenti a $CB$, e quindi il mio problema continuava ad essere quello di determinarlo.
"HowardRoark":
[quote="DavidGnomo"]
Perchè pensavi che non fosse risolutivo?
Perché le basi dei triangoli obliqui di cui vuoi calcolare l'area sono uguali o congruenti a $CB$, e quindi il mio problema continuava ad essere quello di determinarlo.[/quote]
Capito. Ti sei concentrato su quel "trapezio isoscele"
Ma tu davi per scontato che conoscessi $CB$ o per qualche motivo non era un'informazione fondamentale? Te lo chiedo giusto per capire se il tuo metodo e il mio partivano dagli stessi presupposti.
"HowardRoark":
Ma tu davi per scontato che conoscessi $CB$ o per qualche motivo non era un'informazione fondamentale? Te lo chiedo giusto per capire se il tuo metodo e il mio partivano dagli stessi presupposti.
In realtà il mio ragionamento è stato molto poco scientifico
Principalmente mi sono basato sulle informazioni del problema mettendo sul tavolo tutte le informazioni conseguenti scartando tutto ciò che avrebbe complicato il calcolo.
Poi ho avuto un flash in cui vedevo un cerchio diviso in spicchi e da questo ho provato a fare lo stesso con il trapezio. Alla fine cercavo una soluzione semplice convinto che dai dati iniziali si poteva fare velocemente.
Insomma affronto tutto come un puzzle a cui trovare un metodo risolutivo. Come un gioco.
Il ragionamento di DavidGnomo non richiede la conoscenza di BC (che è diverso dalla basi): l'area di qualsiasi poligono circoscritto è il semiprodotto del perimetro per il raggio, e lo si dimostra con un ragionamento come il suo. Si può addirittura pensare che la sua soluzione sia incompleta perché non dà i lati del trapezio; è vero però che non sono esplicitamente richiesti.
Le altre soluzioni permettono invece di calcolare anche quei lati. Hai provato a sfruttare il suggerimento delle prime righe del mio primo post? Lì non serve conoscere il lato obliquo.
Aggiungo un'informazione: i miei calcoli si concludono dicendo che i lati obliqui valgono $5a$ e le basi sono $6a; 4a$.
Le altre soluzioni permettono invece di calcolare anche quei lati. Hai provato a sfruttare il suggerimento delle prime righe del mio primo post? Lì non serve conoscere il lato obliquo.
Aggiungo un'informazione: i miei calcoli si concludono dicendo che i lati obliqui valgono $5a$ e le basi sono $6a; 4a$.
"giammaria":
Il ragionamento di DavidGnomo non richiede la conoscenza di BC (che è diverso dalla basi): l'area di qualsiasi poligono circoscritto è il semiprodotto del perimetro per il raggio
Più precisamente sarebbe semiperimetro per apotema; nel problema c'è solo la circonferenza inscritta e quindi non c'è ambiguità
"giammaria":
lo si dimostra con un ragionamento come il suo.
Il ragionamento lo trovo molto affascinante. In pratica qualsiasi poligono circoscritto a una circonferenza si può vedere come unione di triangoli (basta collegare il centro della circonferenza inscritta con i vertici del poligono), quindi si può considerare il triangolo che ha come base la somma dei lati del poligono e come altezza l'apotema del poligono, e si dimostra facilmente che l'area di quel triangolo è equivalente a quella dell'unione dei triangoli che compongono il poligono. In effetti non avevo considerato anche questa via, che avendo il perimetro era percorribile.
"giammaria":
Si può addirittura pensare che la sua soluzione sia incompleta perché non dà i lati del trapezio; è vero però che non sono esplicitamente richiesti.
Quindi non è incompleta
"giammaria":Adesso ho buttato il foglio dove ho svolto l'esercizio ma sono certo che i miei calcoli concidano con i tuoi.
i miei calcoli si concludono dicendo che i lati obliqui valgono $5a$ e le basi sono $6a; 4a$.
La butto lì: se il poligono non è circoscrivibile, si può trasformare in un triangolo equivalente? Se sì, come?
"HowardRoark":
La butto lì: se il poligono non è circoscrivibile, si può trasformare in un triangolo equivalente? Se sì, come?
Provo: un poligono con $n$ lati, a prescindere se sia circonscrivibile, può essere diviso in $n-2$ triangoli.
A tal fine è necessario che:
1. $n >= 3$
2. I vertici dei triangoli coincidano con quelli dei poligoni
3. I segmenti che uniscono i vertici non devono essere esterni al poligono.
Un poligono di $n$ lati può essere diviso in $n-2$ triangoli, però per trasformarlo in un triangolo equivalente ti serve l'altezza. Per la base di questo triangolo basta sommare i lati del poligono, ma per l'altezza?
"HowardRoark":
Un poligono di $n$ lati può essere diviso in $n-2$ triangoli, però per trasformarlo in un triangolo equivalente ti serve l'altezza. Per la base di questo triangolo basta sommare i lati del poligono, ma per l'altezza?
Ho l'impressione di aver interpretato male la domanda
. Tu vuoi trasformare un poligono qualsiasi in un unico triangolo equivalente? Ovvero con la stessa area.
"DavidGnomo":
Tu vuoi trasformare un poligono qualsiasi in un unico triangolo equivalente? Ovvero con la stessa area.
Esatto
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