Area trapezio formato dalle rette

[silvia851-votailprof]

Sia $vec r$ la retta di equazione $2x-y+4=0$ sia $vec s$ la retta perpendicolare ad $vec r$ passante per il punto $P(0,3)$ e sia $vec t$ la retta $y=k$ con $k in ]0,3[$.Per quale valore di $k in ]0,3[$ l'area del trapezio formato dalle rette $vec s,vec t, vec x, vec y$ vale $5$?
vi chiedo una mano a svolgere questo esercizio in quanto non riesco neanche a fare il grafico e tutti questi dati mi mandano in confusione

[Seneca1]

[xdom="Seneca"]Sposto la discussione in Secondaria II grado. Ti chiedo inoltre di aggiustare il titolo (dov'è lo studio di funzione?). Grazie.[/xdom]

[@melia]

Scomponi i dati del problema
1. disegna la retta $vec r$ per punti
2. trova l'equazione della retta $vec s$ con le condizioni di perpendicolarità ad $vec r$ e passaggio per il punto $P(0,3)$
3. disegna una generica retta $vec t$ parallela all'asse x che intersechi $vec s$ nel primo quadrante
4. trova le coordinate dei punti in cui $vec s$ e $vec t$ si incontrano, in cui $vec t$ incontra l'asse y, in cui $vec s$ incontra l'asse x
5. trova l'area del trapezio in funzione di $k$
6. poni l'area trovata uguale a 5
7. risolvi l'equazione
8. scarta la soluzione non compresa nell'intervallo

[silvia851-votailprof]

per trovarmi i punti della retta devo svolgermi il sistema:
$2x-y+4=0$
$y=0$

e poi il sistema
$2x-y+4=0$
$x=0$
giusto?

[@melia]

Puoi fare il sistema, ma puoi anche calcolare i risultati al volo, dai alla $x$ un valore quello che credi e trovi il corrispondente $y$, anche a mente
$x=2 => y=8$
$x=-2 => y=0$
Non è necessario porre le intersezioni con gli assi cartesiani.

[silvia851-votailprof]

ok, io comunque faccio cosi per evitare sbagli....sai quando fai l'esami hai l'adrenalina alle stelle.....comunque ho risolto il sistema e ho ottenuto $P(-2,4)$ ...
poi ho trovato l'equazione della retta $s$ che è $-x-2y+6=0$ e ho anche disegnato un'ipotetica $vec t$ e da qui adesso ho il grafico con un trapezio....questo dovrebbe essere il grafico con area=5
....adesso vorrei capire come posso trovarmi le coordinate delle $vec s$ e $vec t$? cioè...avendo l'equazione di $vec s$ ho il suo punto cioè $P(6,3)$ ma come mi comporto con $vec t$?
il compito mi da 4 possibilità:
k=3/2
K=1
k=2
k=1/2
sono tutte e tre comprese nell'intervallo...come faccio a scegliere quella esatta?

[@melia]

Stavolta le devi mettere a sistema e il punto di intersezione deve essere in funzione di k

[silvia851-votailprof]

ma tra le possibilità c'è anche: "nessuna delle altre risposte"
quindi non ho la sicurezza che sia una di queste...quindi come posso fare?
cosi avevo pensato di trovarmi la retta passante per due punti...però non so se il mio ragionamento è giusto...tu che dici?

[silvia851-votailprof]

qualcuno può darmi una mano per favore?

[retrocomputer]

"silvia_85":
cosi avevo pensato di trovarmi la retta passante per due punti...però non so se il mio ragionamento è giusto...tu che dici?

Devi trovare le ascisse (che poi sono le basi del trapezio) dei punti di intersezione di $s$ con $t$ e con l'asse $x$. La prima ti verrà in funzione di $k$. Poi scrivi la formula dell'area del trapezio (equazione di secondo grado in $k$) e trovi che l'unico dei due valori di $k$ compreso tra 0 e 3 è 1.

[silvia851-votailprof]

si lo so che devo trovare le ascisse...ma non capisco come!!! la formula del trapezio è $((B+b)*h)/(2)$ cosi ho pensato di metter in pratica la formula inversa per trovarmi le basi, ma mi manca l'altezza(in quanto non so dove è posizionata la $vec t$) come mi devo comportare?

[retrocomputer]

"silvia_85":si lo so che devo trovare le ascisse...ma non capisco come!!! la formula del trapezio è $((B+b)*h)/(2)$ cosi ho pensato di metter in pratica la formula inversa per trovarmi le basi, ma mi manca l'altezza(in quanto non so dove è posizionata la $vec t$) come mi devo comportare?

Non sai dove si trovi esattamente, ma sai che è parallela all'asse delle $x$ e che interseca l'asse delle $y$ in un punto del tipo $(0,k)$ con $0
Dunque fai l'intersezione fra le rette $t$ e $s$ e l'ascissa che trovi sarà la base minore, OK?

[silvia851-votailprof]

e cosa devo fare per trovarmi l'intersezione tra le due rette?

[retrocomputer]

"silvia_85":e cosa devo fare per trovarmi l'intersezione tra le due rette?

Risolvi il sistema con le due equazioni:

$y=k$
$x+2y-6=0$

e ricavi la $x$ in funzione di $k$, che è quello che ti serve.

[silvia851-votailprof]

praticamente metti a sistema $vec t$ e metti $vec s$ positiva e mi viene:
$y=k$
$x=-6-2k$
e poi...cosi mi sono trovata la base minore?
io invece avevo provato a fare questo sistema:
$-x-2y+6=0$
$y=0$
è sbagliato?

[retrocomputer]

"silvia_85":praticamente metti a sistema $vec t$ e metti $vec s$ positiva e mi viene:
$y=k$
$x=-6-2k$
e poi...cosi mi sono trovata la base minore?

Sì Ma forse è sbagliato un segno?

io invece avevo provato a fare questo sistema:
$-x-2y+6=0$
$y=0$
è sbagliato?

No, è giusto, trovi la base maggiore

[silvia851-votailprof]

allora...ricapitolando...la base maggiore mi viene $6,0$ ma quella minore mi rimane sempre sconosciuta perchè facendo il sistema mi ottengo solo $6-2k$

una curiosità ma a te l'equazione della $vec s$ risulta $-x-2y+6=0$?

[giammaria2]

@silvia_85: non mettere il segno di vettore sulle rette. In primo luogo è sbagliato perché le rette si indicano semplicemente con lettere minuscole; in secondo luogo sul mio computer (e probabilmente anche su altri) le spaziature risultano falsate e il tutto è poco leggibile.
Non intervengo sulla soluzione perché vedo che sei già in buone mani e spesso il ricevere spiegazioni da persone diverse ingenera confusione.

[retrocomputer]

"silvia_85":allora...ricapitolando...la base maggiore mi viene $6,0$ ma quella minore mi rimane sempre sconosciuta perchè facendo il sistema mi ottengo solo $6-2k$

Ecco, ora scrivi la formula dell'area del trapezio con $b=6-2k$, $B=6$ e $h=k$ e la poni uguale a 5. Risolvi l'equazione e trovi i valori di $k$.

una curiosità ma a te l'equazione della $vec s$ risulta $-x-2y+6=0$?

Sì.

[silvia851-votailprof]

scrivo le rette cosi...proprio perchè sul compito sono scritte cosi...il prof le indica cosi, non chiedermi però il perchè!!:D

@retrocomputer: però non capisco perchè per trovarti la base minore cambi di segno all'equazione della retta $s$!!!

[silvia851-votailprof]

ho risolto la mia equazione i valori che ho trovato sono $x_(1)=1$, $x_(2)=5$ siccome $0

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