Area del segmento di parabola

[brucosta]

Ciao amici. Ho visto sul web, con interesse, la notizia della scoperta di una nuova formula per il calcolo dell'area del segmento di parabola, che supera quella di Archimede fornendo la soluzione solo in base ai coefficienti delle due funzioni ( retta e parabola ), ma non sono riuscito a trovarla da nessuna parte sul web, per cui mi son messo di buzzo buono e l'ho "riscoperta" a mia volta, verificandola con un foglio di geogebra in cui ho predisposto cursori per la variazione dei coefficienti in gioco : a,b,c per la parabola; m,q per la retta. Non so se sia analoga la forma proposta , ma sarei lieto di confrontarla con questa, che ho posto in questa forma per una più facile memorizzazione, sottolineando la somiglianza con la formula risolutiva dell'equazione di 2° grado:

Parabola : $ y= ax^2+bx+c $
Retta : $ y= mx+q $

Area del segmento parabolico : $ sqrt[(b-m)^2 -4a(c-q)]^3/(6a^2) $

Se qualcuno volesse pubblicare quella originale, gli sarei grato

[gugo82]

Ne avevo scritto tempo fa, quando facevo il TFA.
Non avevo calcolato la formula in funzione dei coefficienti della retta, ma delle coordinate dei punti $A$ e $C$ della parabola che delimitano il segmento (che è forse più semplice): $"area" = 1/6 |x_C - x_A|^3$.

[brucosta]

Grazie , gugo. Ma credo che ci sia qualcosa che non va nella tua formula : se così fosse, dipendendo l'area solo da x(A) e x(B), dovrebbe essere la stessa per tutte le parabole del fascio per A e B, e così non è

[gugo82]

Certo, mi riferivo al caso della parabola standard $y=x^2$.

[brucosta]

Il problema infatti sta nella generalizzazione della formula

[Bokonon]

"brucosta":Il problema infatti sta nella generalizzazione della formula

Il resto è solo una traslazione lungo l'asse X e lungo l'asse Y, ma la geometria resta la stessa.
Piuttosto andrebbero specificati i vincoli...tipo $q>=-m^2/(4a)$ e $a>0$ (oppure mettere un valore assoluto).

[giammaria2]

La generalizzazione è facile: partendo dalla formula scritta all'inizio, con pochi passaggi si trova $S=1/6|a(x_A-x_C)^3|$.
E' interessante notare che non servono le ordinate delle intersezioni; resta aperta la domanda di come dimostrare quella formula senza calcoli noiosi.

[brucosta]

Ora sì, che mi trovo d'accordo . La presenza della a nell'espressione di calcolo generalizza il problema, e valida la formula per ogni parabola passante per gli stessi due punti. Resta il fatto che vanno prima trovate le due intersezioni, o almeno le loro ascisse, per poter calcolare l'area, mentre con l'altra si opera direttamente dai coefficienti, senza passaggi intermedi. Comunque grazie delle risposte

[veciorik]

Cito due fonti che mi sembrano autorevoli:

https://www.orizzontescuola.it/francesco-bulli-lo-studente-che-ha-inventato-una-formula-sconosciuta-ai-matematici-intervista/ che riporta anche un video esplicativo

https://sciencecue.it/francesco-bulli-segmento-parabolico/20183/