Area con integrale improprio

[^Tipper^1]

Calcola l'area della regione compresa fra l'asse $x$, la retta di equazione $x=-1$ e il grafico della funzione $y=ln(x+1)$

Ho impostato l'integrale $int_0^(-1^+)ln(x+1)dx$ Alla fine però mi torna $[xln(x+1)-x+ln(x+1)]_0^(-1^+)$

Quindi $infty-infty$ Dovrebbe tornare $-1$

[Relegal]

Se accetti che l'area sia negativa, devi integrare tra $-1$ e $0$ e non viceversa, ma questa è solo una questione di forma.
Venendo al problema, una volta trovata la primitiva di $log(x+1)$, non puoi valutarla direttamente nei due estremi perchè valutandola in $-1$ otterresti un $log0$ che non ha senso.
Occorre quindi impostare un limite, più precisamente:
Detta $F(x)$ la primitiva, segue che $int_(-1)^0log(x+1)dx=Lim_(s->+oo)F(0)-F(s)$.

[^Tipper^1]

Va bene così?

$Lim_(a->-1)[xln(x+1)-x+ln(x+1)]_0^a$

$Lim_(a->-1)[aLn(a+1)+Ln(a+1)]+Lim_(a->-1)(-a)$

Il primo limite fa $infty-infty$. L'ho risolto facendo $Lim_(a->-1){(aLn(a+1))/(Ln(a+1))+(Ln(a+1))/(Ln(a+1))}/[1/(Ln(a+1))]$ Viene $0*infty$ quindi $Lim_(a->-1)(Ln(a+1))/(1/(a+1))$ che fa $0$

Quindi mi rimane $Lim_(a->-1)(-a)$ che fa $1$

È corretto il procedimento?