Area

[luisa6]

1)Quanto vale l'area del triangolo mistilineo avente per vertici l'origine, il vertice dell'iperbole x^2-y^2=1 di ascissa positiva e il punto di intersezione, di coordinate positive, tra l'iperbole e la funzione arcotangente?

2) Studiare la funzione y=1/arctan(x)

Grazie mille
luisa

[goblyn]

Ciao!
Il vertice dell'iperbole è il punto (0;1).
L'intersezione tra l'iperbole e l'arcotangente si può trovare numericamente o graficamente. Le due curve s'incontrano nel punto:

(1.3734;0.9415)

L'area richiesta è:

A = INT[0..1.3734] atan(x) dx - INT[1..1.3734] sqrt(x^2-1) dx

Cominciamo con l'arcotangente:

Integrando per parti:

INT atan(x) dx = x*atan(x) - INT ( x/(1+x^2) ) dx =

= x*atan(x) - log( sqrt(1+x^2) )

Per quanto riguarda l'altro integrale:

INT sqrt(x^2-1) dx

Operiamo la sostituzione:

x = Ch(t) --> dx = Sh(t) dt

INT sqrt(x^2-1) dx = INT (Sh(t))^2 dt = 1/2 ( Sh(t)Ch(t) - t ) =

= 1/2 * ( x*sqrt(x^2-1) - log( x + sqrt(x^2-1) ) )

Sostituendo i numeri e sommando (col loro segno) i due integrali si ottiene:

A = 0.5362