Applicazioni Lineari

[kimy]

Ciao, avrei dei problemi col seguente esercizio, mi potete aiutare? domani ho l'esame e mi manca ancora questo argomento. Grazie 1000!!!


Si consideri l'applicazione

[math]f:\mathbb{R}\ _3[x]\to\mathbb{R}\ _3[x][/math]

definita da:

[math]f(p(x))=p(x-2)+p(-x)[/math]

1) Dimostrare che f è lineare
2) Trovare una base di Ker f e Im f
3) Costruire, se esiste, una applicazione lineare

[math]g:\mathbb{R}\ _3[x]\to\mathbb{R}\ _3[x][/math]

tale che

[math]dim \; Im g=2[/math]

e

[math]dim \; Im(g \circ f)=1
[/math]

[xico87]

un'applicazione f è lineare se f(ax + by) = a*f(x) + b*f(y). in termini, l'immagine della combinazione lineare di vettori è la combinazione lineare delle immagini dei vettori.

f(p(x) + q(x)) = (p+q)(x-2) + (p+q)(-x) = p(x-2) + q(x-2) + p(-x) + q(-x) =

= p(x-2) + p(-x) + q(x-2) + q(-x) = f(p(x)) + f(q(x)).

per gli altri aspetta ciampax

[kimy]

ok grazie

[ciampax]

Allora, te lo risolvo passo passo.

1) Per dimostrare che f è lineare devi dimostrare che per ogni coppia di scalari

[math]\alpha,\beta\in\mathbb{R}[/math]

e per ogni coppia di polinomi

[math]p(x),q(x)\in\mathbb{R}_3[x][/math]

si abbia

[math]f(\alpha\cdot p(x)+\beta\cdot q(x))=\alpha\cdot f(p(x))+\beta\cdot f(q(x))[/math]

.

Abbiamo

[math]f(\alpha\cdot p(x)+\beta\cdot q(x))=\alpha\cdot p(x-2)+\beta\cdot q(x-2)+\alpha\cdot p(-x)+\beta\cdot q(-x)=\\
\alpha\cdot[p(x-2)+p(-x)]+\beta\cdot[q(x-2)+q(-x)]=\alpha\cdot f(p(x))+\beta\cdot f(q(x)).[/math]

2) Per definizione di nucleo abbiamo che

[math\ker(f)=\{p(x)\in\mathbb{R}_3[x]\ :\ f(p(x))=0\}.[/math]

Per cercare i polinomi che stanno nel nucleo, indichiamo con

[math]p(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/math]

un generico polinomio di terzo grado. La condizione di appartenenza al nucleo diventa allora

[math]a(x-2)^3+b(x-2)^2+c(x-2)+d+a(-x)^3+b(-x)^2+c(-x)+d=0[/math]

e quindi dopo aver fatto i conti

[math](-6a+2b)x^2+(12a-4b)x-8a+4b-2c+2d=0[/math]

e quindi il sistema di 3 equazioni in 4 incognite

[math]\left\{\begin{array}{lcl}
-6a+2b=0\\ 12a-4b=0\\ -8a+4b-2c+2d=0
\end{array}\right.[/math]

le cui soluzioni sono

[math]b=3a,\qquad d=2a-c[/math]

,

con a e c valori arbitrari, e quindi un generico polinomio di

[math]\ker(f)[/math]

ha la forma

[math]p(x)=ax^3+3ax^2+cx+2a-c[/math]

.

Una base è allora data dai polinomi

[math]p_1(x)=x^3+3x^2+2,\qquad p_2(x)=x-1[/math]

ottenuti assegnando i valori a=1, c=0 e a=0, c=1 rispettivamente. Quindi

[math]\dim_{\mathbb{R}}\ \ker(f)=2[/math]

. Utilizzando la relazione

[math]\dim_{\mathbb{R}}\ \mathbb{R}_3[x]=\dim_{\mathbb{R}_3}\ \ker(f)+\dim_{\mathbb{R}_3}\ \mathrm{Im}(f)[/math]

troviamo allora che

[math]\dim_{\mathbb{R}_3}\ \mathrm{Im}(f)=4-2=2[/math]

.

Per trovare una base dell'immagine, basta applicare la f ai polinomi della base canonica

[math]\{1,x,x^2,x^3\}[/math]

e scegliere due di questi che non stiano nel nucleo e siano linearmente indipendenti. Poiché

[math]f(1)=1+1=2[/math]

[math]f(x)=(x-2)+(-x)=-2[/math]

[math]f(x^2)=(x-2)^2+(-x)^2=2x^2-4x+4=2(x^2-2x+2)[/math]

[math]f(x^3)=(x-2)^3+(-x)^3=-6x^2+12x-8=-2(3x^2-6x+4)[/math]

puoi scegliere, ad esempio, le immagini di

[math]1, x^2[/math]

come elementi della base dell'immagine, per cui la base è data da

[math]q_1(x)=2\qquad q_2(x)=2(x^2-2x+2)[/math]

.


3) Per il terzo quesito, devi usare un po' di astuzia e usare la rappresentazione tramite le matrici associate alle applicazioni. Se indichiamo con

[math]e_1=1,\qquad e_2=x,\qquad e_3=x^2,\qquad e_4=x^3[/math]

la base dello spazio vettoriale su cui lavoriamo, allora abbiamo

[math]f(e_1)=2e_1,\qquad f(e_2)=-2e_1,\qquad f(e_3)=4e_1-4e_2+2e_3,\qquad f(e_4)=-8e_1+12e_2-6e_3[/math]

e quindi la matrice che rappresenta f è

[math]F=\left(\begin{array}{cccc}
2 & -2 & 4 & -8\\ 0 & 0 & -4 & 12\\ 0 & 0 & 2 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)[/math]

Poiché la dimensione dell'immagine di una applicazione lineare coincide con il rango della matrice associata, quello che devi fare è determinare una matrice G di rango 2 tale che la matrice GF (che rappresenta la composizione delle applicazioni lineari associate) abbia rango 1. Una scelta possibile (e facile) per G è la seguente

[math]G=\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & x & y\\ 0 & 0 & 0 & z\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right),\qquad\qquad x\neq 0, z\neq 0[/math]

che ha sicuramente rango 2. Poiché il prodotto restituisce la matrice

[math]GF=\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 2x & -6x \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)[/math]

con la scelta fatta per

[math]x\neq 0[/math]

ricavi che la matrice GF ha sicuramente rango 1 (ha una sola riga non nulla!). A questo punto puoi scegliere i valori che vuoi per y e z. Ad esempio, per y=0, z=1 ottieni l'applicazione lineare che agisce così

[math]g(e_1)=0,\qquad g(e_2)=0,\qquad g(e_3)=e_1,\qquad g(e_4)=e_2[/math]

e quindi che sul generico polinomio

[math]p(x)=a e_1+b e_2+c e_3+d e_4=a+bx+cx^2+dx^3[/math]

agisce così

[math]g(p(x))=c e_1+d e_2=c+dx[/math]

e questo è quanto. Se ci sono problemi, fammi sapere.

[kimy]

ho provato a rifare tutto seguendo passo passo, mi è chiaro.
grazie

[ciampax]

Prego. Chiudo!