Applicazioni delle equazioni di secondo grado

[fenice98]

buonasera,
potete aiutarmi a capire come svolgere l'equazione n-°73.
Grazie

[GiovanniPalama]

Ciao Fenice,
come indicato dall'esercizio devi prima effettuare una sostituzione come indicato tra parentesi, cioè devi porre:

[math]y=\frac{x+1}{x-\sqrt3}[/math]

Quindi, partendo dalla tua equazione di partenza ed effettuando la sostituzione sopra indicata si ottiene:

[math]\left(\frac{x+1}{x-\sqrt3}\right)^2 - 2\sqrt3\left(\frac{x+1}{x-\sqrt3}\right) + 2 = 0 \Longrightarrow y^2 - 2\sqrt3y + 2 = 0[/math]

A questo punto applico la formula che consente di trovare le radici di un'equazione di secondo grado, cioè:

[math]y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math]

Sapendo che nel nostro caso i termini a, b e c corrispondono a quanto segue:

[math]a=1; b= -2\sqrt3; c=2[/math]

Li sostituisco nella formula per il calcolo delle radici di un'equazione di secondo grado ed ottengo:

[math]y_{1,2}=\frac{2\sqrt3\pm\sqrt{(-2\sqrt3)^2 - 8}}{2} = \frac{2\sqrt3\pm\sqrt{4*3-8}}{2} = \frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{4}}{2}=\frac{2\sqrt{3}\pm2}{2} = \sqrt{3} \pm 1[/math]

A questo punto sostituisco ciascuna delle y appena trovate con la prima posta in alto:

[math]y=\frac{x+1}{x-\sqrt3} \Longrightarrow \sqrt{3}\pm1=\frac{x+1}{x-\sqrt3}[/math]

A questo punto per trovare la prima soluzione scrivo:

[math](x-\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)=x+1\Longrightarrow x\sqrt{3} +x - 3 -\sqrt{3}=x+1 \Longrightarrow \sqrt{3}(x-1) = 4[/math]

[math]\Longrightarrow x-1=\frac{4}{\sqrt{3}}\Longrightarrow x=\frac{4}{\sqrt{3}}+1 \Longrightarrow x=\frac{4\sqrt{3}+3}{3}[/math]

Per trovare la seconda soluzione invece scrivo:

[math](x-\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)=x+1\Longrightarrow x\sqrt{3} -x - 3 +\sqrt{3}=x+1[/math]

[math]\Longrightarrow x\sqrt{3} - x - x = 1 + 3 -\sqrt{3}\Longrightarrow x(\sqrt{3}-2) = 4 - \sqrt{3}[/math]

A questo punto moltiplico e divido per

[math]\sqrt{3}+2[/math]

ed ottengo quanto segue:

[math]x = \frac{4 - \sqrt{3}}{(\sqrt{3}-2)}*\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+2} = \frac{(4-\sqrt{3})*(\sqrt{3}+2)}{3-4} = \frac{4\sqrt{3} + 8 - 3 - 2\sqrt{3}}{-1} = \frac{2\sqrt{3} + 5}{-1} = -5 - 2\sqrt{3}[/math]

Spero di essere stato chiaro nella descrizione dei passaggi.