Applicabilità del teorema di Rolle
Buon pomeriggio,vorrei una vostra delucidazione.. 2 settimane fa ho fatto l'esame di matematica e il prof mi ha considerato sbagliato il seguente esercizio. L'assistente mi ha anche fatto vedere perchè.. ma sinceramente son rimasta un pò perplessa.. tra l'altro proprio la parte in questione ha "fregato" un pò tutti,percui.. non so!
L'esercizio diceva:
Data la funzione $f(x)=-x^3+3x$, verificare che nell'intervallo $[-sqrt3; sqrt3]$ valgono le ipotesi del teorema di Rolle e trovare i punti la cui esistenza è assicurata dal teorema.
Quindi io mi sono mossa nel seguente modo:
1. dominio, in questo caso tutto $R$
2. verificare se sussiste la 1°condizione del t.di Rolle,ovvero la continuità ed è rispettata
3. verificare se sussiste la 2°condizione del t.di Rolle,ovvero la derivabilità (ho fatto la derivata prima,il dominio sulla derivata prima e spiegato perchè è verificata quest'altra condizione)
4. verificare la 3°condizione.. ed è qua che ci siamo fregati tutti!
f(a)=f(b) giusto??? quindi..
$f(-sqrt3)= (sqrt3)^3-3sqrt3$
$f(sqrt3)= -(sqrt3)^3+3sqrt3$
Ovviamente essendo diversi,tutti abbiamo concluso dicendo che venendo a mancare la 3°condizione il teorema non è applicabile alla funzione data. Invece poi andando a vedere il compito con l'assistente mi ha detto che fin qui era giusto,solo che se avessi continuato avrei ottenuto (NdC: magari scrivo qualche sciocchezza,ma su per giù il procedimento era come segue..)
$f(-sqrt3)= (sqrt(3^3))-3sqrt3$
stessa cosa per $f(sqrt3)= (-sqrt(3^3))+3sqrt3$
diventavano entrambi 0 e quindi f(a)=f(b) => la 3°condizione era verificata e quindi si poteva procedere a fare il resto..
Quello che non capisco è come faccio a prender l'esponente $(sqrt3)^3$ e portarlo dentro radice per poi estrarlo.All'estrazione ci sono,ma questa proprietà che posso "prender" l'esponente e portarlo al radicando mi mancava...
Che poi sarò presuntuosa forse.. ma nel valutare i compiti è giusto tener conto solo della coincidenza dei risultati e non di tutto il procedimento?!
grazie mille per la disponibilità!
L'esercizio diceva:
Data la funzione $f(x)=-x^3+3x$, verificare che nell'intervallo $[-sqrt3; sqrt3]$ valgono le ipotesi del teorema di Rolle e trovare i punti la cui esistenza è assicurata dal teorema.
Quindi io mi sono mossa nel seguente modo:
1. dominio, in questo caso tutto $R$
2. verificare se sussiste la 1°condizione del t.di Rolle,ovvero la continuità ed è rispettata
3. verificare se sussiste la 2°condizione del t.di Rolle,ovvero la derivabilità (ho fatto la derivata prima,il dominio sulla derivata prima e spiegato perchè è verificata quest'altra condizione)
4. verificare la 3°condizione.. ed è qua che ci siamo fregati tutti!
f(a)=f(b) giusto??? quindi..
$f(-sqrt3)= (sqrt3)^3-3sqrt3$
$f(sqrt3)= -(sqrt3)^3+3sqrt3$
Ovviamente essendo diversi,tutti abbiamo concluso dicendo che venendo a mancare la 3°condizione il teorema non è applicabile alla funzione data. Invece poi andando a vedere il compito con l'assistente mi ha detto che fin qui era giusto,solo che se avessi continuato avrei ottenuto (NdC: magari scrivo qualche sciocchezza,ma su per giù il procedimento era come segue..)
$f(-sqrt3)= (sqrt(3^3))-3sqrt3$
stessa cosa per $f(sqrt3)= (-sqrt(3^3))+3sqrt3$
diventavano entrambi 0 e quindi f(a)=f(b) => la 3°condizione era verificata e quindi si poteva procedere a fare il resto..
Quello che non capisco è come faccio a prender l'esponente $(sqrt3)^3$ e portarlo dentro radice per poi estrarlo.All'estrazione ci sono,ma questa proprietà che posso "prender" l'esponente e portarlo al radicando mi mancava...
Che poi sarò presuntuosa forse.. ma nel valutare i compiti è giusto tener conto solo della coincidenza dei risultati e non di tutto il procedimento?!
grazie mille per la disponibilità!
Risposte
Mi spiace molto per il tuo esame, ma sono semplici operazioni con i radicali, basta ricordare che elevare alla terza significa moltiplicare un fattore per se stesso 3 volte, quindi:
$f(-sqrt3)= -(-sqrt3)^3-3sqrt3=- (-sqrt3)*(-sqrt3)*(-sqrt3)-3sqrt3=$ ricordando che $(-sqrt3)*(-sqrt3)=3$ si arriva a
$f(-sqrt3)= -3(-sqrt3)-3sqrt3=3sqrt3-3sqrt3=0
$f(-sqrt3)= -(-sqrt3)^3-3sqrt3=- (-sqrt3)*(-sqrt3)*(-sqrt3)-3sqrt3=$ ricordando che $(-sqrt3)*(-sqrt3)=3$ si arriva a
$f(-sqrt3)= -3(-sqrt3)-3sqrt3=3sqrt3-3sqrt3=0
Fa niente.. guarda,sono contenta di aver visto il compito.. almeno mi sono resa conto di cosa ho sbagliato,anche se vedendo errori come questo la rabbia aumenta. Argomenti che non avevo mai affrontato fino a 3 mesi fa svolti tutti bene (almeno.. lui non aveva segnato nulla!!) e poi perdermi all'ultimo passaggio su passaggi banali in fondo,come questo. Guardo il bicchiere mezzo pieno,su!L'importante credo che sia non perder l'allenamento da qui a giugno..grazie
Prego, e su con la vita, qualche "bastonata" rende più forti!
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