Applica le proprietà delle potenze

[chaty]

calcola il valore delle seguenti espressioni,applicando le proprietà delle potenze.(spiegazione non ho capito!)

(12 alla quinta : 3 alla seconda : 24 alla terza)all'ottava : 8 alla seconda

[Ali Q]

Ciao, Chaty! Ecco a te soluzione e spiegazione:

[math](12^5:3^2:24^3)^8:8^2[/math]

Per prima cosa risolviamo le operazioni che si trovano all'interno della parentesi tonda.
Trattandosi di tutte divisioni, occorre seguire il seguente ordine: si esegue prima il rapporto tra

[math]12^5[/math]

e

[math]3^2[/math]

, e in seguito il risultato di questa operazione va diviso per

[math]24^3[/math]

.

[math]12^5[/math]

può essere scritto come:

[math](3*4)^5[/math]

Il che equivale a scrivere:

[math]3^5 * 4^5[/math]

.
Abbiamo quindi che:

[math]12^5:3^2 = 4^5*3^5:3^2[/math]

In questa operazione ci sono due potenze che hanno per base 3.
Il rapporto tra due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza tra l'esponente del dividendo e quello del divisore. Diventa dunque...

[math]12^5:3^2 = 4^5*3^5:3^2 = [/math]

[math]4^5*3^{5-2} = 4^5*3^3[/math]

Andiamo avanti:

[math]4^5*3^2:24^3[/math]

[math]24^3 = (6*4)^3 = (2*3*4)^3 = 2^3*3^3 *4^3[/math]

Diventa dunque:

[math]4^5*3^2: (2^3*3^3 *4^3)[/math]

Utilizziamo la stessa regola delle potenze che abbiamo visto prima:Il rapporto tra due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza tra l'esponente del dividendo e quello del divisore .

Abbiamo quindi:

[math]4^{5-3}*3^{2-3}: (2^3)=4^{2}*3^{-1}: (2^3)= [/math]

Non è finita qui. Infatti:

[math]4^2 = (2*2)^2 = 2^2 *2^2[/math]

Quindi, il tutto diventa:

[math]4^2*3^{-1}: (2^3)=2^{2-3}*2^2*3^{-1} =2^{-1}*2^2*3^{-1}= 2^1*3^{-1} [/math]

Il tutto deve essere adesso elevato all'ottava.
Altra regola delle potenze: la potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.
Diviene dunque:

[math](2^1*3^{-1})^{8} = 2^8*3^{-8}[/math]

Ultima operazione:

[math]2^8*3^{-8}:8^2 = 2^8*3^{-8}: (2^3)^2 = 2^8*3^{-8}: (2^6) = 2^2*3^{-8} [/math]

Fine. Non sono possibili utlteriori operazioni.
Volendo riportare unicamente i passaggi di calcoli, l'espressione è:

[math](12^5:3^2:24^3)^8:8^2 =[/math]

[math]= (4^5*3^5:3^2: 24^3)^8:8^2 = [/math]

[math]=(4^5*3^3:24^3)^8:8^2 = [/math]

[math]=[4^5*3^3: (2^3*3^3 *4^3)]^8:8^2 = [/math]

[math]=(4^{2}*3^{-1}: 2^3)^8:8^2 = [/math]

[math]=(2^2* 2^{2}*3^{-1}: 2^3)^8:8^2 = [/math]

[math] =(2^{-1}*2^2*3^{-1})^8:8^2 = [/math]

[math]=(2^1*3^{-1})^8:8^2 =[/math]

[math]= 2^8*3^{-8}:8^2 =[/math]

[math]= 2^8*3^{-8}: (2^3)^2 = [/math]

[math]= 2^8*3^{-8}: (2^6) = [/math]

[math]= 2^2*3^{-8} = 4/6561[/math]

Ciao!

[chaty]

ciao ali ho capito mi perdo al passaggio di 24alla3 come lo trasformi non ho capito , e diverso da quello di 12 alla 5

[Ali Q]

Ciao, Chaty! No, no, il procedimento è assolutamente identico.
Ti spiego meglio perchè:

[math]24 = 4*6[/math]

Questo qui è uno dei tanto modi in cui il 24 può essere scritto.
Un altro possibile è:

[math]24= 3*8[/math]

Tuttavia tra i due è preferibile il primo, perchè ci permette di avere a disposizione una potenza che ha per base 4 (che potrà essere semplificata con

[math]4^5[/math]

che è presente all'inizio dell'espressione)

Quindi:

[math]24 = 4*6[/math]

Questo equivale a dire:

[math]24 = 4*6 = 4*2*3[/math]

Si è semplicemente scomposto anche il 6, in modo da avere anche una potenza di base 3 (che potrà essere semplificata con

[math]3^2[/math]

che è presente davanti)

Allora:

[math]24 = 4* 2*3[/math]

[math]24^3 = 4^3 *2^3*3^3[/math]

[chaty]

capito ,ma continuo a pensare che la matematica ti complica la vita, grazie un bacino