Angolo fra due curve
Ciao, tanto per cambiare ho un problema! Non so come risolvere questo esercizio:
Determinare l'ampiezza dell'angolo fra le due curve di equazione y=x^2 e y=x^1/2 nel loro punto comune diverso dall'origine! (soluzione: invtan 3/4)
Determinare l'ampiezza dell'angolo fra le due curve di equazione y=x^2 e y=x^1/2 nel loro punto comune diverso dall'origine! (soluzione: invtan 3/4)
Risposte
Probabilmente l'angolo richiesto è l'angolo formato
dalle tangenti alle curve nel punto P(1;1) che è l'unico
ulteriore punto in comune oltre all'origine.
Equazione della tangente in P alla curva y = x^2:
y - 1 = 2(x - 1) ==> y = 2x - 1
Equazione della tangente in P alla curva y = x^(1/2):
y - 1 = 1/2 (x - 1) ==> y = (x + 1)/2
Ora non resta che trovare l'angolo formato da
queste due rette; tale angolo è la differenza
tra l'angolo formato dalla prima tangente con
l'asse x e l'angolo formato dalla seconda
tangente con l'asse x. Sia chiaro che per "angolo formato
con l'asse x" intendo quello appartenente al semipiano
positivo delle ordinate. Il coeff. angolare
della prima retta tangente è 2; il coeff.
angolare della seconda retta tangente è 1/2;
2 e 1/2 sono quindi le tangenti goniometriche
degli angoli formati con l'asse x, ovvero
(a = alfa, b = beta):
tan(a) = 2; tan(b) = 1/2
Dobbiamo calcolare tan(a - b), e per
farlo usiamo le formule di sottrazione della
tangente: tan(a - b) = [tan(a) - tan(b)]/[1 + tan(a)*tan(b)]
Sostituendo i valori trovati si ha: tan(a - b) = 3/4,
da cui a - b = arctan(3/4).
N.B.: Si scrive arctan, non invtan.
dalle tangenti alle curve nel punto P(1;1) che è l'unico
ulteriore punto in comune oltre all'origine.
Equazione della tangente in P alla curva y = x^2:
y - 1 = 2(x - 1) ==> y = 2x - 1
Equazione della tangente in P alla curva y = x^(1/2):
y - 1 = 1/2 (x - 1) ==> y = (x + 1)/2
Ora non resta che trovare l'angolo formato da
queste due rette; tale angolo è la differenza
tra l'angolo formato dalla prima tangente con
l'asse x e l'angolo formato dalla seconda
tangente con l'asse x. Sia chiaro che per "angolo formato
con l'asse x" intendo quello appartenente al semipiano
positivo delle ordinate. Il coeff. angolare
della prima retta tangente è 2; il coeff.
angolare della seconda retta tangente è 1/2;
2 e 1/2 sono quindi le tangenti goniometriche
degli angoli formati con l'asse x, ovvero
(a = alfa, b = beta):
tan(a) = 2; tan(b) = 1/2
Dobbiamo calcolare tan(a - b), e per
farlo usiamo le formule di sottrazione della
tangente: tan(a - b) = [tan(a) - tan(b)]/[1 + tan(a)*tan(b)]
Sostituendo i valori trovati si ha: tan(a - b) = 3/4,
da cui a - b = arctan(3/4).
N.B.: Si scrive arctan, non invtan.
Ok la mia domanda ora è: come hai fatto a trovare P?
per avere i punti in comune fra due curve basta metterle a sistema.
in questo caso otterrai semplicemente
y=x^1/2=x^2, verificata solo per x=0 e x=1
in questo caso otterrai semplicemente
y=x^1/2=x^2, verificata solo per x=0 e x=1
E la mia risposta è: risolvendo il seguente sistema
{y = x^2
{y = x^(1/2)
x^2 = x^(1/2)
x^4 = x
x^4 - x = 0
x(x^3 - 1) = 0
x = 0
x = 1
quindi un punto di intersezione
è senz'altro l'origine, un altro
è invece P(1;1)
{y = x^2
{y = x^(1/2)
x^2 = x^(1/2)
x^4 = x
x^4 - x = 0
x(x^3 - 1) = 0
x = 0
x = 1
quindi un punto di intersezione
è senz'altro l'origine, un altro
è invece P(1;1)
ecco, si può? sbagliavo a risolvere il sistema!!¨
Visto che siete così bravi e gentili, mi date una mano anche con glia ltri problemi? (altri topic)[:D]
Visto che siete così bravi e gentili, mi date una mano anche con glia ltri problemi? (altri topic)[:D]