Ancora..parabola
Ho questi problemi da proporvi:
1) Scrivere l'eq. della parabola y=ax^2+bx+c passante per i punti A(1,0) B(4,3) C(0,3) e le equazioni della tangente t e della normale n alla parabola nel punto C. Determinare le coordinate del punto D in cui n incontra ulteriormente la parabola e quello del punto E in cui t incontra l'asse della parabola ; calcolare l'area del triangolo DCE.
2) Date le parabole y=-5\9x^2+3 e y=-1\3x^2+1, se ne determinino i punti comuni.
Si trovi la misura del perimetro del rettangolo avente per lati la corda AB staccata dalla prima parabola sulla retta y=7\4 ed una corda CD dell'altra parabola.
Si determini poi il rapporto tra l'rea del rettangolo trovato e quella del triangolo limitato dalla corda AB e dalle tangenti alla prima parabola nei punti A e B.
Aspetto notizie, grazie.
1) Scrivere l'eq. della parabola y=ax^2+bx+c passante per i punti A(1,0) B(4,3) C(0,3) e le equazioni della tangente t e della normale n alla parabola nel punto C. Determinare le coordinate del punto D in cui n incontra ulteriormente la parabola e quello del punto E in cui t incontra l'asse della parabola ; calcolare l'area del triangolo DCE.
2) Date le parabole y=-5\9x^2+3 e y=-1\3x^2+1, se ne determinino i punti comuni.
Si trovi la misura del perimetro del rettangolo avente per lati la corda AB staccata dalla prima parabola sulla retta y=7\4 ed una corda CD dell'altra parabola.
Si determini poi il rapporto tra l'rea del rettangolo trovato e quella del triangolo limitato dalla corda AB e dalle tangenti alla prima parabola nei punti A e B.
Aspetto notizie, grazie.
Risposte
Ciao!
Faccio a tempo a fare il primo:
Imponendo il passaggio della parabola per i tre punti otteniamo:
0=a+b+c
3=16a+4b+c
3=c
da cui
a=1
b=-4
c=3
quindi l'equazione della parabola è
y=x^2-4x+3.
La derivata è
y'=2x-4
e nel cpunto C vale
y'(0)=-4
Quindi la tangente in C è
y-3=y'(0) (x-0) cioè
y=-4x+3
La normale ha coefficiente angolare tale che, moltiplicato per quello della tangente, faccia 1. Quindi ha coefficiente angolare= 0.25 (-4*0.25=1). In più passa per C, quindi:
y-3=0.25(x-0) cioè
y=0.25x + 3
Facendo l'intersezione tra tale retta e la parabola:
y=0.25x+3
y=x^2-4x+3
e risolvendo otteniamo (oltre alla soluzione x=0 che corrisponde al punto C):
x=17/4
y=65/15
Quindi D=(17/4 ; 65/16).
L'asse della parabola è verticale e ha equazione
x=-b/(2a)=2
Facendo l'intersezione di questa retta e della tangente:
x=2
y=-4x+3
quindi
x=2
y=-5
Cioè E=(2;-5)
Per quanto riguarda il triangolo, CD e CE sono perpendicolari per costruzione. Possono quindi essere considerati base e altezza. Le coordinate dei punti le abbiamo tutte, basta trovare le distanze:
EC=2radq(17)
CD=17/16 * radq(17)
basta ora farne il prodotto e dividere per 2:
A=(17^2)/16
goblyn
P.S.: Probabilmente ho sbagliato i conti, l'ho fatto a 300 allora: tra poco esco, il derby mi chiama!!!
Faccio a tempo a fare il primo:
Imponendo il passaggio della parabola per i tre punti otteniamo:
0=a+b+c
3=16a+4b+c
3=c
da cui
a=1
b=-4
c=3
quindi l'equazione della parabola è
y=x^2-4x+3.
La derivata è
y'=2x-4
e nel cpunto C vale
y'(0)=-4
Quindi la tangente in C è
y-3=y'(0) (x-0) cioè
y=-4x+3
La normale ha coefficiente angolare tale che, moltiplicato per quello della tangente, faccia 1. Quindi ha coefficiente angolare= 0.25 (-4*0.25=1). In più passa per C, quindi:
y-3=0.25(x-0) cioè
y=0.25x + 3
Facendo l'intersezione tra tale retta e la parabola:
y=0.25x+3
y=x^2-4x+3
e risolvendo otteniamo (oltre alla soluzione x=0 che corrisponde al punto C):
x=17/4
y=65/15
Quindi D=(17/4 ; 65/16).
L'asse della parabola è verticale e ha equazione
x=-b/(2a)=2
Facendo l'intersezione di questa retta e della tangente:
x=2
y=-4x+3
quindi
x=2
y=-5
Cioè E=(2;-5)
Per quanto riguarda il triangolo, CD e CE sono perpendicolari per costruzione. Possono quindi essere considerati base e altezza. Le coordinate dei punti le abbiamo tutte, basta trovare le distanze:
EC=2radq(17)
CD=17/16 * radq(17)
basta ora farne il prodotto e dividere per 2:
A=(17^2)/16
goblyn
P.S.: Probabilmente ho sbagliato i conti, l'ho fatto a 300 allora: tra poco esco, il derby mi chiama!!!
Ma il prodotto dei coefficienti angolari di due rette perpendicolari non è -1? Io so che considerando una retta base, ad esempio la retta y = x, bisettrice del primo e del terzo quadrante, la sua perpendicolare (che è la bisettrice del secondo e del quarto quadrante, di equazione y = -x) ha il coefficiente angolare inverso ed opposto a quello di y = x, cioè -1. Se andiamo a rappresentare graficamente queste rette, notiamo proprio analiticamente la loro perpendicolarità. Un altro esempio: y = 2x, la perpendicolare sarà y = (-1/2)x, che può sempre essere verificato con la rappresentazione grafica nel piano cartesiano.
sì è proprio così infatti. Ho scritto 1 ma poi nei conti ho messo correttamente -1!!! sorry per la svista!!!
goblyn
goblyn
Secondo problema.
Per trovare i punti comuni facciamo l'intersezione
-5/9x^2+3 = -1/3x^2+1
cioè
x^2=9
Quindi le due parabole si incontrano in 2 punti di ascissa -3 e 3 rispettivamente: (-3;-2) e (3;-2).
L'intersezione tra la prima parabola e la retta y=7/4 porta all'equazione
20x^2=45
le soluzioni sono x=-3/2 e x=3/2. Quindi
A(-3/2;7/4) e B(3/2;7/4)
Per essere un rettangolo gli altri 2 vertici (che stanno sulla seconda parabola) devono avere le medesime ascisse dei punti A e B. Le ordinate si ricavano sostituendo le ascisse nell'equazione della seconda parabola:
C(-3/2;1/4) e D(3/2;1/4)
La base del rettangolo è pari a 3/2-(-3/2)=3
L'altezza del rettangolo è pari a 7/4-1/4=3/2
Il perimetro vale quindi
p=2*(3+3/2)=9
e l'area (serve dopo) vale
A=3*3/2=9/2
Per quanto riguarda il triangolo:
conosciamo già la base AB=3
Chiamiamo H il punto d'intersezione tra una delle tangenti e l'asse y. La differenza fra l'ordinata di H e quella di A dà la misura dell'altezza (è facile convincersene facendo il grafico della parabola e della corda).
La derivata della prima parabola è:
y'=-10/9x
In A vale:
y'(-3/2)=5/3
La tangente è quindi
y-7/4=y'(-3/2)(x+3/2) cioè
y=17/4 + 5/3x
Quindi H=(0;17/4)
L'altezza del triangolo vale allora 17/4-7/4=5/2
L'area vale 3*5/2*1/2=15/4
Il rapporto tra le due aree vale allora:
(9/2)/(15/4)=9/2*4/15=6/5
Idem come prima... possibili errori di conto!!!
Ciao!!!
goblyn
Per trovare i punti comuni facciamo l'intersezione
-5/9x^2+3 = -1/3x^2+1
cioè
x^2=9
Quindi le due parabole si incontrano in 2 punti di ascissa -3 e 3 rispettivamente: (-3;-2) e (3;-2).
L'intersezione tra la prima parabola e la retta y=7/4 porta all'equazione
20x^2=45
le soluzioni sono x=-3/2 e x=3/2. Quindi
A(-3/2;7/4) e B(3/2;7/4)
Per essere un rettangolo gli altri 2 vertici (che stanno sulla seconda parabola) devono avere le medesime ascisse dei punti A e B. Le ordinate si ricavano sostituendo le ascisse nell'equazione della seconda parabola:
C(-3/2;1/4) e D(3/2;1/4)
La base del rettangolo è pari a 3/2-(-3/2)=3
L'altezza del rettangolo è pari a 7/4-1/4=3/2
Il perimetro vale quindi
p=2*(3+3/2)=9
e l'area (serve dopo) vale
A=3*3/2=9/2
Per quanto riguarda il triangolo:
conosciamo già la base AB=3
Chiamiamo H il punto d'intersezione tra una delle tangenti e l'asse y. La differenza fra l'ordinata di H e quella di A dà la misura dell'altezza (è facile convincersene facendo il grafico della parabola e della corda).
La derivata della prima parabola è:
y'=-10/9x
In A vale:
y'(-3/2)=5/3
La tangente è quindi
y-7/4=y'(-3/2)(x+3/2) cioè
y=17/4 + 5/3x
Quindi H=(0;17/4)
L'altezza del triangolo vale allora 17/4-7/4=5/2
L'area vale 3*5/2*1/2=15/4
Il rapporto tra le due aree vale allora:
(9/2)/(15/4)=9/2*4/15=6/5
Idem come prima... possibili errori di conto!!!
Ciao!!!
goblyn
Ora che ci penso, ma se marraenza facesse il terzo anno di liceo scientifico (che in genere è l'anno in cui si fanno questi tipi di problemi) e non avesse studiato le derivate? Ti suggerirei magari di spiegarle come trovare le tangenti con il DELTA = 0, metodo ben conosciuto che in genere adotta uno studente di terzo anno, anziché con le funzioni derivate, non credi? In genere le derivate fanno parte del programma di quinto anno e se marraenza non frequenta quell'anno, certamente non capirà come hai trovato le tangenti! Che ne dici?
Hai proprio ragione, non mi ero posto il problema!
Riprendo allora il primo esercizio
C(0;3)
y=x^2-4x+3
La tangente in C avrà equazione:
y-3=m(x-0) cioè y=3+mx
dove m è il coeff. angolare ancora incognito.
L'intersezione tra tale retta e la parabola deve fornire una sola soluzione (o meglio, due coincidenti) perchè esse hanno un solo punto in comune. Risolviamo dunque il sistema:
y=x^2-4x+3
y=3+mx
ed imponiamo che abbia una sola soluzione.
Sostituendo la seconda nella prima:
3+mx=x^2-4x+3 ==>
x^2-(m+4)x=0
Questa è un'equazione di secondo grado, e, affinché abbia una soluzione sola, occorre che il delta sia pari a zero. Imponiamolo:
delta=(m+4)^2=0
da cui otteniamo:
m=-4
La retta tangente è quindi
y=3-4x.
Lo stesso procedimento lo puoi applicare in tutti gli altri casi in cui ho adoperato la derivata. La tecnica è sempre quella:
1) si scrive l'eq. della retta tangente imponendo il passaggio per un punto dato (magari proprio quello di tangenza) e lasciando incognito il coefficiente angolare m.
2) si fa l'intersezione di tale retta con la parabola e si impone che il delta dell'equazione di secondo grado risultante sia pari a zero. Si ottiene un'equazione in m che dà il valore del coefficiente angolare.
goblyn
Riprendo allora il primo esercizio
C(0;3)
y=x^2-4x+3
La tangente in C avrà equazione:
y-3=m(x-0) cioè y=3+mx
dove m è il coeff. angolare ancora incognito.
L'intersezione tra tale retta e la parabola deve fornire una sola soluzione (o meglio, due coincidenti) perchè esse hanno un solo punto in comune. Risolviamo dunque il sistema:
y=x^2-4x+3
y=3+mx
ed imponiamo che abbia una sola soluzione.
Sostituendo la seconda nella prima:
3+mx=x^2-4x+3 ==>
x^2-(m+4)x=0
Questa è un'equazione di secondo grado, e, affinché abbia una soluzione sola, occorre che il delta sia pari a zero. Imponiamolo:
delta=(m+4)^2=0
da cui otteniamo:
m=-4
La retta tangente è quindi
y=3-4x.
Lo stesso procedimento lo puoi applicare in tutti gli altri casi in cui ho adoperato la derivata. La tecnica è sempre quella:
1) si scrive l'eq. della retta tangente imponendo il passaggio per un punto dato (magari proprio quello di tangenza) e lasciando incognito il coefficiente angolare m.
2) si fa l'intersezione di tale retta con la parabola e si impone che il delta dell'equazione di secondo grado risultante sia pari a zero. Si ottiene un'equazione in m che dà il valore del coefficiente angolare.
goblyn
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