Ancora Circonferenza
Buonasera a tutti!
Rieccomi qui..Io e queste circonferenze a quanto pare non riusciamo ad andar proprio d'accordo
.
Dunque il testo è il seguente
"deteminare per quali valori del parametro m la retta y=x+m stacca sulla circonferenza x^2+y^2-2x+4y-4 una corda la cui lunghezza e 3sqrt2".
Io avevo pensato di fare il sistema tra le due,determinare i generici punti di intersezione e poi impostare l'uguaglianza tra la distanza dei punti trovati e la lunghezza della corda.Peccato però che non riesco più ad andare avanti da un certo puntro in poi,perchè sotto radice mi ritrovo un quadrato di binomio negativo.
Avrò già provato a rifarlo 20 volte..
Grazie in anticipo a chi,come l'altra volta,sarà capace di fornire un ottimo aiuto ed una valida spiegazione.
M.L
Rieccomi qui..Io e queste circonferenze a quanto pare non riusciamo ad andar proprio d'accordo
.Dunque il testo è il seguente
"deteminare per quali valori del parametro m la retta y=x+m stacca sulla circonferenza x^2+y^2-2x+4y-4 una corda la cui lunghezza e 3sqrt2".
Io avevo pensato di fare il sistema tra le due,determinare i generici punti di intersezione e poi impostare l'uguaglianza tra la distanza dei punti trovati e la lunghezza della corda.Peccato però che non riesco più ad andare avanti da un certo puntro in poi,perchè sotto radice mi ritrovo un quadrato di binomio negativo.
Avrò già provato a rifarlo 20 volte..
Grazie in anticipo a chi,come l'altra volta,sarà capace di fornire un ottimo aiuto ed una valida spiegazione.
M.L
Risposte
Sotto radice dovresti trovare un'espressione funzione di $m$; per cui devi porre dei precisi vincoli su $m$ in modo che il radicando risulti positivo.
Questa è la mia soluzione: sostituiamo y=x+m nell'equazione della circonferenza ottenendo:
x^2+(x+m)^2-2x+4(x+m)-4=0 da cui
2x^2+2x(m+1)+m^2+4m-4=0
Ora affinchè ci siano due punti in comune tra la retta y=x+m e la circonferenza si deve imporre che il determinante dell'equazione 2x^2+2x(m+1)+m^2+4m-4=0 sia maggiore di zero, cioè:
(m+1)^2-2(m^2+4m-4)>0 cioè m^2+6m-9<0 cioè -3(1+sqrt(2))
x1=(-(m+1)+sqrt(9-m^2-6m))/2 e x2=(-(m+1)-sqrt(9-m^2-6m))/2 da cui
y1=[(m-1)+sqrt(9-m^2-6m)]/2 e y2=[(m-1)-sqrt(9-m^2-6m)]/2
In tal caso nota che tutte le radici in gioco hanno senso per effetto dell'imposizione che il determinante sia maggiore di zero e quindi per l'imposizione che -3(1+sqrt(2))
d^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=[sqrt(9-m^2-6m)]^2+[sqrt(9-m^2-6m)]^2=2*(9-m^2-6m)
Imponendo che d^2=(3sqrt(2))^2=18 si trova:
18-2(m^2+6m)=18 da cui (m^2+6m)=0 e cioè m=0 U m=-6 e sono valori entrambi accettabili perchè rispettano la condizione su m.
Prova 1: m=0 ->y=x che intersecata con la circonferenza dà:
x1=1 e y1=1, x2=-2 e y2=-2 ed è facile vedere che la distanza è 3sqrt(2)
Prova 2: m=-6->y=x-6 che intersecata con la circonferenza dà:
x1=4 e y1=-2, x2=1 e y2=-5 e anche in tal caso è facile constatare che la distanza è 3sqrt(2).
x^2+(x+m)^2-2x+4(x+m)-4=0 da cui
2x^2+2x(m+1)+m^2+4m-4=0
Ora affinchè ci siano due punti in comune tra la retta y=x+m e la circonferenza si deve imporre che il determinante dell'equazione 2x^2+2x(m+1)+m^2+4m-4=0 sia maggiore di zero, cioè:
(m+1)^2-2(m^2+4m-4)>0 cioè m^2+6m-9<0 cioè -3(1+sqrt(2))
x1=(-(m+1)+sqrt(9-m^2-6m))/2 e x2=(-(m+1)-sqrt(9-m^2-6m))/2 da cui
y1=[(m-1)+sqrt(9-m^2-6m)]/2 e y2=[(m-1)-sqrt(9-m^2-6m)]/2
In tal caso nota che tutte le radici in gioco hanno senso per effetto dell'imposizione che il determinante sia maggiore di zero e quindi per l'imposizione che -3(1+sqrt(2))
d^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=[sqrt(9-m^2-6m)]^2+[sqrt(9-m^2-6m)]^2=2*(9-m^2-6m)
Imponendo che d^2=(3sqrt(2))^2=18 si trova:
18-2(m^2+6m)=18 da cui (m^2+6m)=0 e cioè m=0 U m=-6 e sono valori entrambi accettabili perchè rispettano la condizione su m.
Prova 1: m=0 ->y=x che intersecata con la circonferenza dà:
x1=1 e y1=1, x2=-2 e y2=-2 ed è facile vedere che la distanza è 3sqrt(2)
Prova 2: m=-6->y=x-6 che intersecata con la circonferenza dà:
x1=4 e y1=-2, x2=1 e y2=-5 e anche in tal caso è facile constatare che la distanza è 3sqrt(2).
grazie ad entrambi.sia per il suggerimento,sia per la conferma della soluzione.
Ora non dovrei più stressare con la circonferenza..si passa a parabola,ellisse ed iperbole che mi piacciono decisamente di più!
In caso di problemi dovuti a "stupide" dimenticanze da clima vacanziero..saprò a chi rivolgermi!!
Grazie ancora e buon proseguimento di giornata.
M.L
Ora non dovrei più stressare con la circonferenza..si passa a parabola,ellisse ed iperbole che mi piacciono decisamente di più!
In caso di problemi dovuti a "stupide" dimenticanze da clima vacanziero..saprò a chi rivolgermi!!
Grazie ancora e buon proseguimento di giornata.
M.L
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