Ancora ancora parabole...
Ciao a tutti, un ultimo problema poi vi lascio stare, promesso... almeno per questo week end
Determinare l'equazione della parabola avente per direttrice l'asse x e vertice in V(0;1/2). Dette A e B le intersezioni della retta y=mx con la parabola e C e D le proiezioni ortogonali rispettivamente di A e di B sull'asse x, determinare m in modo che il trapezio ABDC sia equivalente al quadrato di lato CD. Determinare l'equazione della retta tangente alla parabola e parallela alla retta y=2x-8 indicando con P il punto di contatto. Trova l'area del triangolo OVP.
Grazie in anticipo!!!
Determinare l'equazione della parabola avente per direttrice l'asse x e vertice in V(0;1/2). Dette A e B le intersezioni della retta y=mx con la parabola e C e D le proiezioni ortogonali rispettivamente di A e di B sull'asse x, determinare m in modo che il trapezio ABDC sia equivalente al quadrato di lato CD. Determinare l'equazione della retta tangente alla parabola e parallela alla retta y=2x-8 indicando con P il punto di contatto. Trova l'area del triangolo OVP.
Grazie in anticipo!!!
Risposte
Scusa se rispondo solo adesso, Mirko, ma non mi ero accorta del tuo post.
Spero che -se l'esercizio ti serve per domani- questa soluzione che ora ti vado a scrivere possa ancora esserti utile.
Dunque, innanzi tutti il problema ci dice che abbiamo a che fare con una parolabola che ha per direttrice l'asse x. Si tratta dunque di una parabola ad asse verticale.
La sua generica equazione sarà:
Determiniamo a,b e c.
Le coordinate del vertice, in una parabola ad asse verticale, sono:
Poichè si sa che nella parabola in questione
1)
2)
Infine, si sa che la retta direttrice ha generica equazione:
Sapendo che nel nostro caso la direttrice è l'asse x (che ha equazione y=0), e sostituendo i risultati già calcolati, ottengo che:
L'equazione è:
Aggiunto 15 minuti più tardi:
Andiamo avanti. Questa seconda parte te la imposto solamente fino ad un certo punto, poi puoi andare avanti da solo.
Determiniamo dove la retta y=mx e la parabola si tagliano (punti A e B).
Metto dunque a sistema l’equazione della parabola e della retta.
Sostituisco a y il valore mx nell’equazione della parabola.
(1/2x^2) – (mx) +1/2 = 0
Delta = m^2 – 4*1/2*1/2 =
xa, xb = m ±√Δ/1 = m ±√Δ.
E quindi:
ya = m (m -√Δ)
yb = m (m +√Δ)
Per il momento non possiamo dire altro.
I punti C e D sono le proiezioni di A e di B sull’asse x.
Quindi di questi punti posso dire che.
Xc = Xa
Yc = 0
Xd = Xb
Yd = 0
Il problema ci chiede che: (Xd – Xc)^2 =(Xb – Xa)^2 = Area trapezio ABCD
L’area del trapezio sarà pari a: (B+b) * h/2
B = Yb –Yd = Yb
b = Ya – Yc = Ya
h = Xd – Xc = Xb – Xa
perciò: (B+b)*h/2 = (Ya + Yb)* (Xb-Xa)/2
(Ya + Yb)* (Xb-Xa)/2 = (Xb – Xa)^2
(Ya + Yb)/2 = (Xb – Xa)
Sostituisco ad ya, yb, xa e xb il loro valore rispetto ad m.
[m (m -√Δ) + m (m +√Δ)]/2 = [(m +√Δ) -(m -√Δ)]
[m ² - m√Δ + m² +m√Δ)]/2 = 2√Δ
2m ²/2 = 2√Δ
m ² = 2√Δ
m ² = 2√ (m^2 –1)
m^4 = 4 (m^4 + 1 –2m^2)
m^4 = 4 m^4 + 4 –8m^2
-3m^4 +8m^2 –4 = 0
Chiamo m^2 = n
-3n^2 +8n –4 = 0
Δ = 64 –4*3*4 = 64-48 = 16
N = -8 ±4/(-6)
Quindi n può valere 2 oppure 2/3.
Aggiunto 8 minuti più tardi:
Andiamo avanti all’ultimo punto.
Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare m.
Quindi la retta che cerchiamo ha la forma:
L’equazione della parabola è invece:
Per determinarne la tangenza devo mettere a sistema le due equazioni, e poi imporre un delta pari a 0 (condizione di tangenza)
Sostituisco
L’equazione è
Vediamo le coordinate del punto di tangenza continuando a risolvere l'equazione l'equazione:
Il vertice della parabola aveva coordinate
Se con O indichiamo il fuoco della parabola, esso ha coordinate:
Nel nostro caso:
Disegno i punti sugli assi cartesiani. Assumo come base
L’altezza rispetto a questo lato è pari all’ascissa di P, cioè 2.
Quindi
Fine. Ciao! Spero di non sver commesso errori!
Spero che -se l'esercizio ti serve per domani- questa soluzione che ora ti vado a scrivere possa ancora esserti utile.
Dunque, innanzi tutti il problema ci dice che abbiamo a che fare con una parolabola che ha per direttrice l'asse x. Si tratta dunque di una parabola ad asse verticale.
La sua generica equazione sarà:
[math]ax^2 +by^2 +c = 0[/math]
Determiniamo a,b e c.
Le coordinate del vertice, in una parabola ad asse verticale, sono:
[math]V = [-b/2a; (4ac-b^2/4a)][/math]
Poichè si sa che nella parabola in questione
[math]V(0;1/2)[/math]
, posso scrivere che:1)
[math]-b/2a = 0[/math]
, quindi [math]b=0.[/math]
2)
[math]4ac - 0/4a = 1/2[/math]
, cioè [math]4ac/4a =1/2[/math]
, cioè [math]c=1/2[/math]
Infine, si sa che la retta direttrice ha generica equazione:
[math]y = -(1+b^2 -4ac)/4a[/math]
Sapendo che nel nostro caso la direttrice è l'asse x (che ha equazione y=0), e sostituendo i risultati già calcolati, ottengo che:
[math]-(1-4*a*1/2)/4a = 0[/math]
[math]-(1-2*a)/4a = 0[/math]
[math](2*a -1)/4a = 0[/math]
[math](2*a -1)= 0[/math]
[math]2*a = 1[/math]
[math]a = 1/2[/math]
L'equazione è:
[math]1/2x^2 +1/2 = y[/math]
Aggiunto 15 minuti più tardi:
Andiamo avanti. Questa seconda parte te la imposto solamente fino ad un certo punto, poi puoi andare avanti da solo.
Determiniamo dove la retta y=mx e la parabola si tagliano (punti A e B).
Metto dunque a sistema l’equazione della parabola e della retta.
Sostituisco a y il valore mx nell’equazione della parabola.
[math]1/2x^2 +1/2 = mx[/math]
(1/2x^2) – (mx) +1/2 = 0
Delta = m^2 – 4*1/2*1/2 =
[math]m^2 -1[/math]
xa, xb = m ±√Δ/1 = m ±√Δ.
E quindi:
ya = m (m -√Δ)
yb = m (m +√Δ)
Per il momento non possiamo dire altro.
I punti C e D sono le proiezioni di A e di B sull’asse x.
Quindi di questi punti posso dire che.
Xc = Xa
Yc = 0
Xd = Xb
Yd = 0
Il problema ci chiede che: (Xd – Xc)^2 =(Xb – Xa)^2 = Area trapezio ABCD
L’area del trapezio sarà pari a: (B+b) * h/2
B = Yb –Yd = Yb
b = Ya – Yc = Ya
h = Xd – Xc = Xb – Xa
perciò: (B+b)*h/2 = (Ya + Yb)* (Xb-Xa)/2
(Ya + Yb)* (Xb-Xa)/2 = (Xb – Xa)^2
(Ya + Yb)/2 = (Xb – Xa)
Sostituisco ad ya, yb, xa e xb il loro valore rispetto ad m.
[m (m -√Δ) + m (m +√Δ)]/2 = [(m +√Δ) -(m -√Δ)]
[m ² - m√Δ + m² +m√Δ)]/2 = 2√Δ
2m ²/2 = 2√Δ
m ² = 2√Δ
m ² = 2√ (m^2 –1)
m^4 = 4 (m^4 + 1 –2m^2)
m^4 = 4 m^4 + 4 –8m^2
-3m^4 +8m^2 –4 = 0
Chiamo m^2 = n
-3n^2 +8n –4 = 0
Δ = 64 –4*3*4 = 64-48 = 16
N = -8 ±4/(-6)
Quindi n può valere 2 oppure 2/3.
Aggiunto 8 minuti più tardi:
Andiamo avanti all’ultimo punto.
Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare m.
Quindi la retta che cerchiamo ha la forma:
[math]y = 2x + n.[/math]
L’equazione della parabola è invece:
[math]1/2x^2 +1/2 = y[/math]
Per determinarne la tangenza devo mettere a sistema le due equazioni, e poi imporre un delta pari a 0 (condizione di tangenza)
Sostituisco
[math]y = 2 x +n[/math]
nell’equazione della parabola.[math]1/2x^2 +1/2 = 2 x +n[/math]
[math] (1/2 x^2) -(2x) + (1/2-n) = 0[/math]
[math]Delta = 4 -4*1/2 * (1/2 -n) = 0[/math]
[math]Delta = +4 -2 * (1/2 -n) = 0[/math]
[math]Delta = +4 -1 + 2n = 0[/math]
[math]3 + 2n = 0[/math]
[math]n = -3/2.[/math]
L’equazione è
[math]y = 2m -3/2.[/math]
Vediamo le coordinate del punto di tangenza continuando a risolvere l'equazione l'equazione:
[math]x = 2/1 = 2[/math]
[math]y = 2x +n = 4 -3/2 = (8-3)/2 = 5/2.[/math]
Il vertice della parabola aveva coordinate
[math](0,1/2)[/math]
Se con O indichiamo il fuoco della parabola, esso ha coordinate:
[math](-b/2a; (1-b^2+4ac)/4a)[/math]
Nel nostro caso:
[math]-b/2a=0[/math]
[math](1-b^2+4ac)/4a= (1 +4*1/2*1/2)/(4*1/2) = (1+1)/(4*1/2) = 2/2 = 1.[/math]
Disegno i punti sugli assi cartesiani. Assumo come base
[math]OV = (1-1/2) =1/2[/math]
. L’altezza rispetto a questo lato è pari all’ascissa di P, cioè 2.
Quindi
[math]Area OVP = 1/2 *2/2 = 1/2 unità^2.[/math]
Fine. Ciao! Spero di non sver commesso errori!
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