[Analisi matematica] Derivate e integrali

[laralu]

Determina la primitiva della funzione y=12-3x^2 tale che l’ordinata del suo punto di minimo è 5.

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Ciao laralu!! Hai determinato perlomeno la famiglia di primitive di tale funzione??
Dato che è banale mi piacerebbe che la scrivessi. A quel punto, se trovi difficoltà
possiamo aiutarti a proseguire. ;)

[laralu]

la primitiva, facendo l'integrale è:

12x-x^3

il problema è che non so proseguire

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Il fatto è questo: se come è consuetudine quando si è alle prime armi, non si
aggiunge l'importantissima costante additiva l'esercizio non ha più alcuna
valenza, in quanto chiede di determinare una primitiva e tu l'hai già determina-
ta, non so se si coglie ciò che voglio dire. ;)

Infatti, il primo passo consta nel determinare una famiglia di primitive, ossia

[math]F(x) = \int \left(12 - 3x^2\right)\,dx = 12x - x^3 + c[/math]

(famiglia perché al va-
riare di

[math]c[/math]

, che è una costante, si ottengono infinite primitive che sono
soluzione dell'integrale).

A questo punto, tra quelle infinite funzioni

[math]F[/math]

, si richiede quella tale per cui

[math]F(x_{min}) = 5[/math]

. Dunque, dato che il Teorema di Fermat ci assicura che
nei punti di massimo e minimo relativi la derivata prima (se esiste) si annulla:

[math]F'(x) = 12 - 3x^2 = 0 \; \Leftrightarrow \; x = \pm 2.[/math]

Calcolando anche la derivata
seconda, ossia

[math]F''(x) = -6x[/math]

e valutandola nei due punti critici, ossia:

[math]F''(-2) = 12 > 0[/math]

e

[math]F''(2) = -12 < 0[/math]

si evince che

[math]\small x_{min} = -2[/math]

,
mentre

[math]x_{max} = 2\\[/math]

.

Non ci rimane che imporre quanto richiesto dall'esercizio:

[math]\small F(x_{min}) = 5 \; \Leftrightarrow \; 12\,(-2) - (-2)^3 + c = 5 \; \Leftrightarrow \; c = 21[/math]

.
Risposta:

[math]F(x) = 12x - x^3 + 21\\[/math]

.

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)

[carlogiannini]

Senza nulla togliere alla risposta di TeM che è veramente ineccepibile come chiarezza e sinteticità (due cose difficili da conciliare), vorrei permettermi di dilungarmi un po' sul motivo della tua indecisione.
Gli integrali vengono introdotti al termine del programma delle superiori (questo secondo me) con lo scopo specifico di riuscire a calcolare l'area che sta "sotto" la curva (funzione) limitatamente ad uno specifico intervallo [a;b], il famoso INTEGRALE DEFINITO. In fase di spiegazione troppo spesso viene detto che
"l'integrale è l'inverso della derivata"
affermazione "matematicamente" FALSA.
Vediamo perché:
se ieri ho fatto la derivata di una certa funzione
F(X)
ed ho trovato la funzione f(x), cioè:
d[F(x)] = f(x)
e oggi mi danno la funzione
f(x)
posso dire: oh che bello,questa la conosco, allora posso scrivere:

[math]\int f(x)\ dt[/math]

= F(X).
C'è però un problema:
(a) d(x^)= 2x
ma anche
(b) d(x^ + 1) = 2x
(c) d(x^ + 2) = 2x
quindi l'integrale di x^ quale è? La (a), la (b) o la (c)? (cit. Mike Bongiorno).
Ecco perché, anche quando conosco (sono in grado di calcolare) la PRIMITIVA F(x) della funzione f(x) NON trovo UNA soluzione del mio integrale ma una intera famiglia di primitive, come ha giustamente detto TeM, tutte uguali a parte una generica costante "c" che non so definire ed ecco perché
L'INTEGRALE NON E' L'INVERSO DELLA DERIVATA
perché NON mi fornisce una risposta UNIVOCA.
Purtroppo l'equivoco è avvalorato dal fatto che calcolando un integrale definito

[math]\int_{a}^{b} f(x)\ dt[/math]

=F(b) - F(a)

cioè, nell'esempio di prima:

[math]\int_{3}^{4} x^2\ dt[/math]

=[2(4)+c] - [2(3)+c] = 8+c-6-c=2
Come vedi "+c" e "-c" si semplificano (sempre) e questo (sempre secondo me) crea l'equivoco che ha giustamente rimarcato TeM nella sua risposta, cioè non considerare la variabile additiva. A questo proposito, se TeM legge questo post, chiedo anche a lui se questa mia "spiegazione" è chiara e soprattutto corretta.

[laralu]

Farò indubbiamente tesoro di questa spiegazione! Grazie davvero!