Analisi I

[gabmac2]

Ho alcune domande di Analisi da porre
1)qual' è la derivata di sen^2 x?
2)Mac Laurin di (e^x)*(sinx)
i primi 3 sono
(e^x)*(sinx)+(e^x)*(cosx)
(e^x)*(sinx)-(e^x)*(sinx)
(e^x)*(sinx)-(e^x)*(cosx)
ma poi come si mette nella formula?

3)in un punto x0=1 e f(x) =-3x+2 come si calcola da derivata nel punto?

Grazie mille in anticipo

[Incognita X]

1) Devi considerare la derivazione di funzioni composte.

[math]sin^2(x)[/math]

è una funzione composta.

Derivata funzione composta = f'(x) * g'(x)

[math]f(x) = sin(x)[/math]

(derivata della funzione seno)

[math]g(x) = sin^2(x)[/math]

(derivata di una potenza)

Quindi...

[math]2senx * cosx = sen(2x)[/math]

[xico87]

gabmac2:
Ho alcune domande di Analisi da porre
1)qual' è la derivata di sen^2 x?
2)Mac Laurin di (e^x)*(sinx)
i primi 3 sono
(e^x)*(sinx)+(e^x)*(cosx)
(e^x)*(sinx)-(e^x)*(sinx)
(e^x)*(sinx)-(e^x)*(cosx)
ma poi come si mette nella formula?

3)in un punto x0=1 e f(x) =-3x+2 come si calcola da derivata nel punto?

Grazie mille in anticipo

2) se devi trovare il polinomio di ml:
derivata prima: (e^x)*(sinx)+(e^x)*(cosx)
derivata seconda: D((e^x)*(sinx)+(e^x)*(cosx))
derivata terza: ...

a seconda del grado che vuoi ottenere del polinomio, devi derivare tante volte.
poi trovi le derivate in x=0 (vedi esercizio 3).
il polinomio che devi ottenere è della forma:

[math] f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + ... + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n [/math]

3) ti calcoli la derivata nella variabile x, e poi al posto di x ci metti 0

[ciampax]

La prima e la terza ti sono state spiegate abbondantemente.
Per la seconda, più che fare quello che dice Xico (che è giusto, ma lungo), conviene usare il fatto che si conoscono gli sviluppi di Mac-Laurin delle due funzioni. Infatti essendo

[math]e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)[/math]

[math]\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5)[/math]

risulta (fermando lo sviluppo al terzo ordine)

[math]e^x\cdot\sin x=\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)\left(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5)\right)\\
=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5)+x^2-\frac{x^4}{6}+o(x^4)+\frac{x^3}{2}-\frac{x^5}{12}+o(x^5)+\frac{x^4}{6}+o(x^4)\\
=x+x^2+\frac{x^3}{3}+o(x^3)[/math]

[gabmac2]

ragazzi,vi ringrazio infinitamente,ma non riesco ad afferrare come usare la formula,in linea di principio devo sempre usare la formula di xico sostituendo li?
Vi vorrei ancora porre una domanda
com' è il dominio e la derivata di rad(x-1/x-3) ?
Grazie mille

[xico87]

ciampax:
La prima e la terza ti sono state spiegate abbondantemente.
Per la seconda, più che fare quello che dice Xico (che è giusto, ma lungo), conviene usare il fatto che si conoscono gli sviluppi di Mac-Laurin delle due funzioni. Infatti essendo

[math]e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)[/math]

[math]\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5)[/math]

risulta (fermando lo sviluppo al terzo ordine)

[math]e^x\cdot\sin x=\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)\left(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5)\right)\\
=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5)+x^2-\frac{x^4}{6}+o(x^4)+\frac{x^3}{2}-\frac{x^5}{12}+o(x^5)+\frac{x^4}{6}+o(x^4)\\
=x+x^2+\frac{x^3}{3}+o(x^3)[/math]

sì ma la tua considerazione vale solo nel caso lui si debba trovare un limite, che non coincide col caso del polinomio (in cui non necessariamente x tende a 0).
gabmac, la consegna dell'esercizio qual è?

[gabmac2]

"applicare a ciascuna delle seguenti funzioni la formula di Mac-Laurin,troncata al quarto termine".
Ultima cosa ancora ,mi dite i passaggi per derivare (2x+1)^2?E se fosse alla terza?

Grazie

[Incognita X]

gabmac2:
Ultima cosa ancora ,mi dite i passaggi per derivare (2x+1)^2?E se fosse alla terza?

Scusa, ma ti ho detto che devi considerare le funzioni composte... Una volta che conosci le derivate fondamentali, tutte le altre funzioni più complesse le derivi considerandole funzioni composte. Sai cosa sono le funzioni composte?

Perché o non sai come si calcolano le derivate o non sai che cosa sono le funzioni composte.

Hai due funzioni...

[math]g(x) : A \rightarrow B[/math]

[math]f(x) : B \rightarrow C[/math]

Consideriamo la funzione composta l'applicazione

[math]g(x) \circ f(x): A \rightarrow C[/math]

.

Se vai a leggere su un qualsiasi libro di liceo, puoi trovare che la derivata di una funzione composta è:

[math][g(x) \circ f(x)]' = g(x)' * f(x)'[/math]

.

Che vuol dire: la derivata di una funzione composta è uguale al prodotto delle derivate delle funzioni che la compongono. Le funzioni possono anche essere più di due.

Prova a isolare le funzioni

[math]f(x)[/math]

e

[math]g(x)[/math]

(e dicendo questo ti ho fatto capire che nel tuo caso ci sono solo 2 funzioni isolate) di

[math](2x+1)^2[/math]

. Scrivi la risposta. Perché questo caso è ancora più semplice del precedente.

[xico87]

gabmac2:
"applicare a ciascuna delle seguenti funzioni la formula di Mac-Laurin,troncata al quarto termine".
Ultima cosa ancora ,mi dite i passaggi per derivare (2x+1)^2?E se fosse alla terza?

Grazie

io non ho mai sentito parlare di "formula di mac laurin", però penso si riferiscano al polinomio. aspetta ciampax

[ciampax]

Se devi fermarti al quarto ordine, rifai quello che ho fatto io però prendendo anche le potenze di ordine 4!

E comunque, si chiama polinomio di MacLaurin! La formula di MacLaurin sarà quella per disciogliere in acido gli studenti che non imparano le definizioni corrette! :asd