Analisi di funzione
Data la funzione $f(x)=ln(x)/sqrt(x)$
a) verificare che la generica primitiva di $f(x)$ è crescente in $[1;+ infty[$
b) trova la primitiva $F(x)$ il cui grafico passa per il punto $P(1;-4)$ e determina i suoi eventuali asintoti
c) Rappresenta $F(x)$ e trova graficamente il numero di soluzioni dell'equazione $F(x)=1$
Io ho provato così ma non sono riuscito
a) $f(x)$ generica $= (lnx/sqrt(x))+c$ e la derivata, salvo errori, è
$f'(x)=(1/sqrt(x))-lnx/(2sqrt(x^3))$
Ma poi studiando i segni trovo $-lnx>0$ che da $x<1$ ...per cui la $f(x)$ non mi viene crescente nell'intervallo richiesto.
b) $f(x)$ generica $= (lnx/sqrt(x))+c$ da cui ho trovato che $c=-4$
Poi però facendo i limiti ( e forse qui sbaglio) ho trovato:
$lim_(x->+infty)(lnx/(x^(1/2))-4)=-4$
$lim_(x->-infty)(lnx/(x^(1/2))-4)=-infty$
$lim_(x->0^+)(lnx/(x^(1/2))-4)=-infty$
Quindi avrei un asintoto orizzontale $y=-4$ ma facendo un grafico approssimativo è evidente che ciò non sia vero
c) probabilmente sbagliando il punto $b$ ottengo che $F(x)=1$ non è possibile per nessun valore di x
Grazie
a) verificare che la generica primitiva di $f(x)$ è crescente in $[1;+ infty[$
b) trova la primitiva $F(x)$ il cui grafico passa per il punto $P(1;-4)$ e determina i suoi eventuali asintoti
c) Rappresenta $F(x)$ e trova graficamente il numero di soluzioni dell'equazione $F(x)=1$
Io ho provato così ma non sono riuscito
a) $f(x)$ generica $= (lnx/sqrt(x))+c$ e la derivata, salvo errori, è
$f'(x)=(1/sqrt(x))-lnx/(2sqrt(x^3))$
Ma poi studiando i segni trovo $-lnx>0$ che da $x<1$ ...per cui la $f(x)$ non mi viene crescente nell'intervallo richiesto.
b) $f(x)$ generica $= (lnx/sqrt(x))+c$ da cui ho trovato che $c=-4$
Poi però facendo i limiti ( e forse qui sbaglio) ho trovato:
$lim_(x->+infty)(lnx/(x^(1/2))-4)=-4$
$lim_(x->-infty)(lnx/(x^(1/2))-4)=-infty$
$lim_(x->0^+)(lnx/(x^(1/2))-4)=-infty$
Quindi avrei un asintoto orizzontale $y=-4$ ma facendo un grafico approssimativo è evidente che ciò non sia vero
c) probabilmente sbagliando il punto $b$ ottengo che $F(x)=1$ non è possibile per nessun valore di x
Grazie
Risposte
Ma anche no...
Cos'è una primitiva?
Come si calcola?
Cos'è una primitiva?
Come si calcola?
Si calcola facendo l'integrale della funzione
Ah, bene... E dove l’hai calcolato l’integrale?
P.S.: Quando rispondi ad una domanda, tieni presente una cosa importante: quando un matematico ti chiede “che cos’è un oggetto”, ti sta chiedendo come l’oggetto è definito, non come si calcola.
Di norma (anche se non sempre), in Matematica una definizione ed un metodo di calcolo sono cose molto diverse tra loro.
P.S.: Quando rispondi ad una domanda, tieni presente una cosa importante: quando un matematico ti chiede “che cos’è un oggetto”, ti sta chiedendo come l’oggetto è definito, non come si calcola.
Di norma (anche se non sempre), in Matematica una definizione ed un metodo di calcolo sono cose molto diverse tra loro.
A ok...io credevo che $f(x)$ fosse già la primitiva...
Mi rimetto a fare tutto allora
Mi rimetto a fare tutto allora
Ciao, qualche consiglio
Il primo punto puoi farlo anche sfruttando solo $f(x)$ mentre per quanto riguarda l'integrazione per ottenere la primitiva ti direi di sostituire $lnx=t$
Il primo punto puoi farlo anche sfruttando solo $f(x)$ mentre per quanto riguarda l'integrazione per ottenere la primitiva ti direi di sostituire $lnx=t$
"caffeinaplus":
[…] per quanto riguarda l'integrazione per ottenere la primitiva ti direi di sostituire $lnx=t$
O integrare per parti con fattore differenziale $1/sqrt(x)$.
Per il punto a), nota che la f(x) è la sua derivata, è che sempre $>=0$ nell'intervallo $[1,+oo]$, quindi la primitiva ha pendenza sempre positiva, ovvero sale sempre. Nota anche che il limite a $+oo$ è zero, quindi ci si deve attendere che la primitiva salga salga salga e salga ancora ma asintoticamente.
Allora ho trovato la funzione
$F(x)=2ln(x)*sqrt(x)-4sqrt(x)$ per il punto $b$, ma calcolando il limite io ho trovato
$lim_(x->+infty)(sqrt(x)*[2lnx-4])=+infty$
E anche calcolando l'$m$ dell'eventuale asintoto obliquo trovo $m=0$
Dove sbaglio per non trovare l'asintoto
$F(x)=2ln(x)*sqrt(x)-4sqrt(x)$ per il punto $b$, ma calcolando il limite io ho trovato
$lim_(x->+infty)(sqrt(x)*[2lnx-4])=+infty$
E anche calcolando l'$m$ dell'eventuale asintoto obliquo trovo $m=0$
Dove sbaglio per non trovare l'asintoto
Un asintoto obliquo, no di certo.
Potenzialmente poteva esserci un asinto orizzontale...ma come hai visto la funzione non è limitata superiormente.
Quindi non ci sono asintoti.
Potenzialmente poteva esserci un asinto orizzontale...ma come hai visto la funzione non è limitata superiormente.
Quindi non ci sono asintoti.
A ok allora i limiti erano giusti... grazie
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